Question

URGENTE:

A razão entre dois números naturais é 2/3 e a diferença entre o quadrado do maior e o quadrado do menor é igual a 20. Quais são esses dois números ?

Answer 1

Com os dados apresentados podemos chamar os dois valores de x e y, e, então, montar um sistema simples:

$\frac{x}{y}$ = $\frac{2}{3}$

$y^{2} -x^{2} = 20$

Como na fração o 3 é maior que o 2 podemos chegar a conclusão que o y é maior que o x. Temos a opção de usar substituição, soma ou chutar valores possíveis. Com números pequenos a melhor opção é sempre fazer chutes. Por exemplo x = 4, y = 6

$\frac{4}{6} ⇒ \frac{2}{3}$ simplificando.

E, $6^{2} - 4^{2}$ = 20.

A resposta é 4 e 6 são os valores.

Answer 2

Sejam x e y os dois números naturais.

Temos que:

$\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \: \: (1)$

e

${y}^{2} - {x}^{2} = 20 \: \: (2)$

y é maior do que x pois a razão entre x e y é menor do que 1.

De (1), vem que:

$y = \frac{3x}{2}$

Substituindo em (2):

${( \frac{3x}{2} )}^{2} - {x}^{2} = 20 \\ \frac{9 {x}^{2} }{4} - {x}^{2} = 20 \\ \frac{9 {x}^{2} - 4 {x}^{2} }{4} = 20 \\ \frac{5 {x}^{2} }{4} = 20 \\ 5 {x}^{2} = 80 \\ {x}^{2} = \frac{80}{5} \\ {x}^{2} = 16$

Como x é natural, não vamos considerar a raiz negativa.

Daí,

${x}^{2} = 16 \\ x = \sqrt{16} \\ x = 4$

Agora vamos encontrar y substituindo esse valor de x em (1):

$y = \frac{3x}{2} \\ y = \frac{3 \times 4}{2} \\ y = 3 \times 2 \\ y = 6$

Os números são 4 e 6.