Question

URGENTE!

3 - Determine x de modo que a sequência (x+5, 4x-1, x²-1) seja uma P.A.

4 - Interpole oito meios Aritméticos entre 2 e 47.

5 - Determine quantos múltiplos de 3 há entre 100 e 500.

6 - A soma de três números reais é 21 e o produtoé 280. Determine-os sabendo que são termos de uma P.A.

Answer 1

3.$(x+5,~4x-1,~ x^{2} -1)$

Aplicando a 2° propriedade da P.A.

$\boxed{a _{2}-a _{1}=a _{3}-a _{2}}$, vem:


$4x-1-(x+5)= x^{2} -1-(4x-1)\\ 3x-6= x^{2} -4x\\ x^{2} -7x+6=0~(equacao~do~2 ^{o}~grau),~onde: \\ \\ x'=1:::x''=6$

Inserindo as raízes encontradas, na P.A. acima,

para x=1:

$(1+5,~4*1-1,~1 ^{2}-1)\\ \\ \boxed{P.A.=(6,~3,~0)~\to~decrescente}$

para x=6:

$(6+5,~4*6-1,~6 ^{2}-1)\\ \\ \boxed{P.A.=(11,~23,~35)~\to~Crescente}$
__________

4. Se é uma P.A. de 8 meios, a P.A. possui 10 termos, onde a1=2 e a10=47.

Pela fórmula do termo geral da P.A., temos:

$a _{n}=a _{1}+(n-1)r\\ 47=2+(10-1)r\\ 47-2=9*r\\ 45=9r\\ \\ r= \frac{45}{9}\\ \\ r=5$

Achada a razão da P.A., podemos interpolar os 8 meios, somando a razão à partir do 1° termo:

$P.A.=(2,..7,12,17,22,27,32,37,42,..47)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~|~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~----------\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8~meios$
__________

5. Analisemos a P.A.:



                            100,101,102................................498,499,500
                                           |                                    |
                                 1° múltiplo de 3              último múltiplo de 3
                                           |                                    |
                                         a1                                  an

Onde a razão da P.A. é 3. Pela fórmula do termo geral da P.A.(...)

$a _{n}=a _{1}+(n-1)r\\ 498=102+(n-1)3\\ 498-102=3n-3\\ 396=3n-3\\ 396+3=3n\\ 3n=399\\ \\ n= \frac{399}{3}\\ \\ \boxed{n=133~multiplos}$
__________

6. Temos 3 números em progressão aritmética,

$(x-r,~x,~x+r)$
................................

A sua soma é:

$x-r+x+x+r=21\\ 3x=21\\ x=7$

O seu produto é:

$(x-r)*x*(x+r)=280\\ (7-r)*7*(7+r)=280\\ 343-7r ^{2}=280 \\ -7r ^{2}=280-343\\ -7r ^{2}=-63\\ r ^{2}=9\\ r= \sqrt{9}\\ r=\pm3$

Substituindo os valores de r e x, 

para r=3:

$(x-r,~x,~x+r)\\ (7-3,~7,~7+3)\\ \boxed{P.A.(4,~7,~10)~\to~Crescente}$

para r= -3:

$(x-r,~x,~x+r)\\ (7-(-3),~7,~7+(-3))\\ \boxed{P.A.(10,~7,~4)~\to~Decrescente}$


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos :)