Question

urgenciaaa amanhã tem prova

Numa P.A a1+a3=28 e a2+a5= 49, determine a soma dos 20 primeiros termos dessa P.A

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Laissuzany, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que numa PA, há as seguintes informações:

a₁ + a₃ = 28       . (I)
e
a₂ + a₅ = 49      . (II)

Dadas essas informações, pede-se a soma dos 20 primeiros termos dessa PA.

ii) Veja que já vamos transformar as expressões (I) e (II) em outro sistema, pois já sabemos, pelo que já resolvemos antes pra você, que:
a₂ = a₁+r; que a₃ = a₁+2r; e que a₅ = a₁+4r. Então vamos fazer as devidas substituições nas expressões (I) e (II). Assim, teremos:

- A expressão (I), que é esta: a₁ + a₃ = 28, passará a ser:

a₁ + a₁+2r = 28 ---> 2a₁ + 2r = 28       . (III)

- A expressão (II), que é esta: a₂+a₅ = 49, passará a ser:

a₁+r + a₁+4r = 49 ---> 2a₁+5r = 49       . (IV)

ii) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (III) por "-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (IV). Fazendo isso teremos:

-2a₁ - 2r = - 28 --- [esta é a expressão (III) multiplicada por "-1"]
2a₁ + 5r = 49 ----- [esta é a expressão (IV) normal]
------------------------------- somando membro a membro, teremos:
0 + 3r = 21 --- ou apenas:
3r = 21
r = 21/3
r = 7 <--- Este é o valor da razão (r).

Para encontrar o valor do primeiro termo (a₁), vamos em quaisquer uma das expressões [ou na (III) ou na (IV)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "r' por "7". Vamos na expressão (III), que é esta:

2a₁ + 2r = 28 ---- substituindo-se "r' por "7", teremos:
2a₁ + 2*7 = 28
2a₁ + 14 = 28
2a₁ = 28 - 14
2a₁ = 14
a₁ = 14/2
a₁ = 7 <--- Este é o valor do primeiro termo (a₁).

iii) Assim, resumindo, temos que o primeiro termo (a₁) e a razão (r) terão os seguintes valores:

a₁ = 7; r = 7.

iv) Agora vamos à soma dos 20 primeiros termos dessa PA.
Antes de iniciar, vamos calcular o 20º termo dessa PA pela fórmula do termo geral, que é esta:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima substituiremos "an" por "a₂₀", pois queremos saber o valor do 20º termo. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "7", que é o valor do primeiro termo. Por seu turno, substituiremos "n" por "20", pois estamos encontrando o valor do 20º termo. E, finalmente, substituiremos "r" por "7", que é o valor da razão. Assim, teremos:

a₂₀ = 7 + (20-1)*7
a₂₀ = 7 + (19)*7 ----- como 19*7 = 133, teremos:
a₂₀ = 7 + 133
a₂₀ = 140 <--- Este será o valor do 20º termo.

v) Agora vamos encontrar a soma dos 20 primeiros termos, utilizando, para isso, a soma dos "n" primeiros termos de uma PA, que é dada por:

Sn = (a₁+an)*n/2

Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "S₂₀", pois queremos a soma dos 20 primeiros termos. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "7", que é o valor do primeiro termo. Por seu turno, substituiremos "an" por "a₂₀" e que já vimos que vale "140", como acabamos de encontrar. E, finalmente, substituiremos "n" por "20", pois estamos querendo a soma dos 20 primeiros termos.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

S₂₀ = (7+140)*20/2
S₂₀ = (147)*20/2 ----- como 20/2 = 10, ficaremos;
S₂₀ = (147)*10 ----- com0 147*10 = 1.470, teremos:
S₂₀ = 1.470 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor da soma dos 20 primeiros termos da PA da sua questão.

Bem, a resposta já está dada, pois a questão pede apenas a soma dos 20 primeiros termos. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver qual é essa PA com os seus 20 termos. Para isso, basta saber que sendo o primeiro termo igual a "7" e a razão (r) também, igual a "7", então todos os 20 termos dessa PA serão estes (basta, a partir do primeiro termo,ir somando a razão para encontrar os demais termos):

(7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77;  84; 91; 98; 105; 112; 119; 126; 133; 140) <--- Esta é a PA com os seus 20 primeiros termos. Se você tiver duvidando que a soma desses termos dá "1.470" basta somá-los um a um e vai ver que a soma é exatamente igual a que demos pela fórmula da soma. Ou seja, a soma vai ser exatamente igual a "1.470".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.