Question

UPE) Seja: 2 log x = 1 + log(2,4 – x). Lembrando que log 10 = 1, podemos dizer que x é igual a:

Answer 1

Resposta: x=2

Como sugere o enunciado, vamos começar reescrevendo o termo '1' do lado direito da equação como um logaritmo decimal:

$\sf 2 \cdot \log x~ =~ \log10~ +~ \log(2,4~-~x)$

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência no lado esquerda da equação e a propriedade do logaritmo do produto no lado esquerdo, podemos reescrever a equação como uma igualdade de logaritmos.

$\sf Propriedade~do~Logaritmo~da~Potencia:~~\boxed{\sf \log_ba^c=c\cdot \log_ba}\\\\\sf Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\sf \log_ba\cdot \log_bc=\log_ba+\log_bc}$

$\sf \log x^2~ =~ \log\Big(10\cdot (2,4~-~x)\Big)\\\\\\\sf \log x^2~ =~ \log\,(10\cdot 2,4~-~10\cdot x)\\\\\\\sf \log x^2~ =~ \log\,(24~-~10x)$

Para que uma igualdade de logaritmos de mesma base seja atendida, necessariamente, devemos ter os logaritmandos também iguais, logo:

$\sf x^2~=~24~-~10x\\\\\\x^2~+~10x~-~24~=~0\\\\\\Aplicando~Bhaskara:\\\\\\\Delta~=~10^2-4\cdot 1\cdot (-24)\\\\\Delta~=~100~+~96\\\\\Delta~=~196\\\\\\\sf x'~=~\dfrac{-10+\sqrt{196}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{-10+14}{2}~=~\dfrac{4}{2}~~\Rightarrow~\boxed{\sf x'~=~2}\\\\\\\sf x''~=~\dfrac{-10-\sqrt{196}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{-10-14}{2}~=~\dfrac{-24}{2}~~\Rightarrow~\boxed{\sf x''~=\,-12}$

Temos, então, duas possibilidades de resposta (2 e -12), precisamos verificá-las utilizando as condições de existência (C.E) dos logaritmos.

$\sf Para~\log_ba,~\sf as ~C.E~s\tilde{a}o:~~\left\{\begin{array}{ccl}\sf a&\sf > &\sf 0\\\sf b&\sf > &\sf 0\\\sf b&\sf \ne&\sf 1\end{array}\right.$

As bases dos logaritmos envolvidos na equação são todas iguais a 10, isto é, atendem às condições independentemente do valor de "x".

Vamos conferir os logaritmandos.

$\sf Para~\log x:\\\\\Rightarrow~x=2~atende~\grave{a}s~condicoes,~ ja~que~\boxed{2~\acute{e}~maior~que~0}~\checkmark\\\\\Rightarrow~x=\,-12~n\tilde{a}o~atende~\grave{a}s~condicoes,~ ja~que~\boxed{-12~\acute{e}~menor~que~0}~\times\\\\\\\sf Para~\log (2,4-x):\\\\\Rightarrow~x=2~atende~\grave{a}s~condicoes,~ ja~que~\boxed{2,4-2=0,4~\acute{e}~maior~que~0}~\checkmark\\\\\Rightarrow~x=\,-12~atende~\grave{a}s~condicoes,~ ja~que~\boxed{2,4+12=14,4~\acute{e}~maior~que~0}~\checkmark$

Como pudemos ver, apenas x=2 atende às condições de existência para ambos logaritmos e, portanto, a solução x=-12 deverá ser descartada.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$