Question

(Unopar-PR) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem a e 3a, respectivamente, então o cosseno do ângulo oposto ao menor lado é: eu acho que tem que utilizam a tabela da imagem

Answer 1

Usando o teorema de Pitágoras calculamos o segundo cateto:

${(3a)}^{2} = {a}^{2} + {x}^{2} \\ \\ {9a}^{2} = {a}^{2} + {x}^{2} \\ \\ {x}^{2} = {8a}^{2} \\ \\ x = 2a \sqrt{2}$

Agora que temos os valores dos 3 lados do triângulo, podemos aplicar a lei dos cossenos para calcular o cosseno do ângulo oposto ao menor lado. A fórmula é :

${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2} - 2bc.cos \alpha$

Substituindo os dados na fórmula:

${a}^{2} = ( {2a \sqrt{2)}}^{2} + (3 {a)}^{2} - 2.(2a \sqrt{2} ).3a.cos \alpha \\ \\ {a}^{2} = 8 {a}^{2} + 9 {a}^{2} - 12 {a}^{2} \sqrt{2} .cos \alpha \\ \\ - 16 {a}^{2} = - 12 {a}^{2} \sqrt{2} .cos \alpha \\ \\ \frac{4}{3 \sqrt{2} } = cos \alpha \\ \\ cos \alpha = \frac{4 \sqrt{2} }{6} = \frac{2 \sqrt{2} }{3}$