Question

(UNITAU-SP) O conjunto solução da equação |x²-5x|=|x-5| é:

Answer 1

Existe uma propriedade dos módulos de um número que é a seguinte:

| x | = | y | ↔ x = y ou x = -y. Sendo assim, temos que

| x² - 5x | = | x - 5 | ↔ x² - 5x = x - 5 ou x² - 5x = -(x - 5). Vamos resolver essas igualdades.

(i) x² - 5x = x - 5 → x² - 5x - x + 5 = 0 → x² - 6x + 5 = 0, onde

a = 1, b = -6 e c = 5

Δ = b² - 4.a.c

Δ = (-6)² - 4.1.5

Δ = 36 - 20

Δ = 16

x = [ -b + ou - √Δ]/2.a

x = [ -(-6) = ou - √16]/2.1

x' = (6 + 4)/2 = 10/2 => x' = 5

x" = (6 - 4)/2 = 2/2 => x" = 1, então S₁ ={ 1, 5 }

(ii) x² - 5x = -(x - 5) => x² - 5x = -x + 5 => x² - 5x + x - 5 = 0 => x² - 4x - 5 = 0, onde

a = 1, b = -4 e c = -5

Δ = (-4)² - 4.1.(-5)

Δ = 16 + 20

Δ = 36

x = [ -(-4) + ou - √36]/2.1

x = (4 + ou - 6)/2

x' = (4 + 6)/2 = 10/2 => x' = 5

x" = (4 - 6)/2 = -2/2 => x" = -1, então S₂ = { -1, 5 }

Assim, a solução final S é a união das soluções S₁ e S₂, ou seja,

S = S₁ ∪ S₂ = { 1, 5} ∪ { -1, 5} => S = { -1, 1, 5 }