Question

. (Unitau 1995) A expressão i13+i15 é igual a:

Answer 1

Caracterização da unidade imaginária: $i$ é tal que $i^{2}=-1$
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$\mathsf{x=i^{13}+i^{15}}\\\\\mathsf{x=i^{12+1}+i^{12+3}}\\\\\mathsf{x=i^{12}\cdot i^{1}+i^{12}\cdot i^{3}}$

Note que $\mathsf{i^{12}=i^{2\cdot6}=(i^{2})^{6}=(-1)^{6}=1}$

$\mathsf{x=1\cdot i^{1}+1\cdot i^{3}}\\\\\mathsf{x=i+i^{3}}\\\\\mathsf{x=i+i^{2+1}}\\\\\mathsf{x=i+i^{2}\cdot i^{1}}\\\\\mathsf{x=i+(-1)\cdot i}\\\\\mathsf{x=i-i}\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{x=0}}}$
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Dica para simplificar potências altas de $i$:

Suponha que queiramos simplificar $\mathsf{i^{n}}$ onde $\mathsf{n}$ é um número natural

Dividimos $\mathsf{n}$ por 4. Existem únicos $\mathsf{q,\,r}$ tais que $\mathsf{n=4q+r}$. Então:

$\mathsf{i^{n}=i^{4q+r}}\\\\\mathsf{i^{n}=i^{4q}\cdot i^{r}}\\\\\mathsf{i^{n}=(i^{4})^{q}\cdot i^{r}}$

Mas $\mathsf{i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1}$, logo

$\mathsf{i^{n}=1^{q}\cdot i^{r}}\\\\\mathsf{i^{n}=i^{r}}$

Simplificamos bastante a potência de i, já que $\mathsf{r}$ é o resto da divisão de $\mathsf{n}$ por 4, logo $\mathsf{r\in\{0,1,2,3\}}$

Exemplos:

$\mathsf{i^{2000000}=i^{0}=1}$, pois o resto da divisão de 2000000 por 4 é 1.

$\mathsf{i^{4163}=i^{3}=i^{2}\cdot i=-i}$, pois o resto da divisão de 4163 por 4 é 3

Answer 2

Resposta:

a resposta está na imagem!!!