Question

(UNIRIO) Na figura ao lado, PB/PC=1/3 e PA=12cm. O perímetro do triângulo APC, em cm, é:

Answer 1

BP/PC=1/3 logo, PC=3.BP, se BP=x então PC=3x 

h=12cm 

Pelas relações métricas do triângulo retângulo temos que 
h²=BP.PC então 
12²=x.3x 
144=3x² 
48=x² 
x=$\sqrt{48}$
x=4.$\sqrt{3}$ 

Agora tendo o valor de BP²=48 podemos calcular o valor de AB 
AB²=BP²+h² 
AB²=48+144 
AB²=192 
AB=sqrt(192) 
AB=8.$\sqrt{3}$

Com valor de AB podemos calcular o valor de AC 
BC²=AC²+AB² 
(4.sqrt(3)+3.4.$\sqrt{3}$)²=192+AC² 
(16².($\sqrt{3}$)²=192+AC² 
256.3-192=AC² 
576=AC² 
AC=sqrt(576) 
AC=24 

Perimetro APC 
AP+PC+AC= 
12+3.4.$\sqrt{3}$+24= 
36+12.$\sqrt{3}$= 
12(3+$\sqrt{3}$)

Answer 2

O perímetro do triângulo é 24(1 + √3) cm, alternativa D.

Relações métricas do triângulo retângulo

Seja ‘a’ a medida da hipotenusa, ‘b’ a medida do cateto, ‘c’ a medida do cateto, ‘h’ a medida da altura relativa à hipotenusa, ‘m’ a projeção do cateto b sobre a hipotenusa e ‘n’ a projeção do cateto c sobre a hipotenusa, as relações métricas do triângulo retângulo são:

• a·h = b·c

• b² = a·m

• c² = a·n

• h² = m·n

Do enunciado, temos que PB/PC = 1/3 e PA = 12 cm, logo, podemos escrever:

PC = 3·PB

Como PB e PC são as projeções dos catetos, vamos utilizar a quarta relação métrica:

h² = m·n

PA² = PB·PC

12² = PB·3·PB

12²/3 = PB²

PB = 12/√3

PB = 12√3/3

PB = 4√3 cm

Calculando PC:

PC = 3·4√3

PC = 12√3 cm

A hipotenusa BC mede 16√3 cm. Com as demais relações, podemos calcular os lados AB e AC:

AB² = BC·PB

AB² = 16√3 · 4√3

AB² = 192

AB = 8√3 cm

AC² = BC·PC

AC² = 16√3 · 12√3

AC² = 576

AC = 24 cm

O perímetro do triângulo é:

P = AB + BC + AC

P = 8√3 + 16√3 + 24

P = 24√3 + 24

P = 24(1 + √3)

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