Question

(Unifor –CE) No universo dos reais, o conjunto solução da inequação X² - 4
---------- < - 0
(menor/igual a zero) X + 2

Answer 1

Enunciado:

(Unifor – CE) No universo dos reais, o conjunto solução da inequação (x² – 4)/(x + 2) ≤ 0?

________


Solução:

Resolver a inequação-quociente:

   x² – 4
—————  ≤  0          (i)
    x + 2


•  Restrição para o conjunto universo:  o denominador não pode se anular, logo devemos ter

x + 2 ≠ 0   ⇒    x ≠ – 2        ✔


•   Resolvendo a inequação dada, para  x ≠ – 2:

Em (i), temos a diferença entre dois quadrados no numerador do lado esquerdo.

   x² – 2²
—————  ≤  0
    x + 2


Some e subtraia  2x  ao numerador, depois fatore por agrupamento:

   x² + 2x – 2x – 2²
——————————  ≤  0
            x + 2

   x² + 2x – 2x – 2 · 2
————————————  ≤  0
              x + 2

   x · (x + 2) – 2 · (x + 2)
————————————  ≤  0
               x + 2


Colocando o fator comum  (x + 2)  em evidência no numerador, a inequação fica

   (x + 2) · (x – 2)
—————————  ≤  0
           x + 2


Simplifique os fatores comums, levando em conta que  x + 2 ≠ 0,  e a inequação fica

x – 2 ≤ 0

x ≤ 2          (e ainda  x ≠ – 2, para satisfazer a restrição)


•  Conjunto solução:

S = {x ∈ R:  x ≤ 2  e  x ≠ – 2}


ou de forma equivalente

S = {x ∈ R:  x < – 2  ou  –2 < x ≤ 2}


ou ainda, usando a notação de intervalos,

S = (– ∞,  – 2)  ∪  (– 2, 2 ]


Bons estudos! :-)


Tags:   inequação quociente condição de existência conjunto universo diferença de quadrados produtos notáveis fatoração por agrupamento solução resolver álgebra