Question

O cálculo da área de uma região limitada por funções se dá por meio da integral definida, sendo a integral a diferença entre as funções. Isto é, se a região está limitada no intervalo {a,b] pelas funções f e g, tal que f(x) > g(x) para todo X E [a,b], então a área dessa região é dada por $\int\limits^b_a [f(x) - g(x)] dx$. A partir do gráfico a seguir, calcule a área da região limitada pelas funções f e g e assinale a alternativa correta.

A) 2
B) 1
C) 2/3
D) 4/3
E) 3/2

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{d)~\dfrac{4}{3}~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a área da região limitada por duas curvas, utilizamos integrais duplas.

Seja a região $D$ limitada por duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas em um dado intervalo $[a,~b]$, geralmente sendo os pontos de intersecção das funções. Sua área é calculada pela integral dupla: $\displaystyle{\int\int_D\,dA$.

Os limites de integração devem ser definidos de acordo com o Teorema de Fubini, que explicita a ordem de integração em relação às variáveis. Usualmente, definimos $dA=dy\,dx$.

Considerando que nesta região $D$, o comportamento das funções seja o mesmo em todo o intervalo, isto é: $f(x)>g(x)$, teremos a integral dupla:

$\displaystyle{\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx$.

Sabendo que $\displaystyle{\int_a^b\,dx=b-a$, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, calculamos integral mais interna:

$\displaystyle{\int_a^bf(x)-g(x)\,dx$

A partir do gráfico dado pela questão, temos as funções $g(x)=2x+1$ e $f(x)=x^2+2x$.

Para encontrarmos os limites de integração, igualamos as funções:

$x^2+2x=2x+1$

Subtraia $2x$ em ambos os lados da equação

$x^2=1$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$x=\pm~1$

Dessa forma, o nosso limite de integração será $-1\leq x\leq1$.

Neste caso, ao analisarmos o comportamento das funções neste intervalo, vemos que $g(x)>f(x)$. Então, teremos a integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^12x+1-(x^2+2x)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e cancele os termos opostos

$\displaystyle{\int_{-1}^12x+1-x^2-2x\,dx}\\\\\\\displaystyle{\int_{-1}^11-x^2\,dx}$

Para calcularmos esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Sabendo que $1=x^0$, calcule a integral

$x-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-1}^1$

Aplique os limites de integração

$1-\dfrac{1^3}{3}-\left(-1-\dfrac{(-1)^3}{3}\right)$

Calcule as potências e some as frações

$1-\dfrac{1}{3}-\left(-1+\dfrac{1}{3}\right)\\\\\\ 1-\dfrac{1}{3}+1-\dfrac{1}{3}\\\\\\ 2-\dfrac{2}{3}\\\\\\ \dfrac{4}{3}$

Esta é a área da região delimitada pelas duas funções e é a resposta contida na letra d).