Question

(UNIFEI 2020) Suponha que as retas dadas por $y=2x-3$ e $y=ax+b$ se intersectam ortogonalmente no ponto $(2,1)$. Qual é o valor de $a+b$?

a) 1
b) 3/2
c) 2
d) 5/2
e) 3

Answer 1

Resposta:

A alternativa correta é a letra b.

Explicação passo-a-passo:

Para a equação y = 2x - 3 temos que sua inclinação é igual 2 (número que acompanha o x na equação)

Quando duas retas são ortogonais, ou seja, se cortam formando um ângulo reto (90°) suas inclinações são o inverso negativo uma da outra. Logo,

$m_{reta\;1}=-\dfrac{1}{m_{reta\;2}}\\\\2=-\dfrac{1}{a}\\\\2a=-1\\\\\boxed{a=-\dfrac{1}{2}}$

Se as duas retas têm um ponto em comum P(2,1) então em ambas as retas, quando x = 2, temos y = 1. Portanto,

$y=a\;.\;x+b\\\\1=-\dfrac{1}{2}\;.\;2+b\\\\1=-\dfrac{2}{2}+b\\\\1=-1+b\\\\b= 1+1\\\\\boxed{b=2}$

Logo,

$a+b=-\dfrac{1}{2}+2\\\\a+b=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{2}\\\\a+b=\dfrac{4-1}{2}\\\\\boxed{\boxed{a+b=\dfrac{3}{2}}} \quad \rightarrow \quad \mathbf{letra\;b}$