Question

UniCesumar Cálculo Questão 4 54/2020

Dada a função abaixo:
Seja f(x) = senx + 2x . cos x

A derivada de f(x) e f'($\frac{π}{2}$)
são respectivamente:

Alternativa 1:
cosx - 2x.senx e π

Alternativa 2:
cosx - 2x.senx e -2

Alternativa 3:
3.cosx - 2x.senx e π

Alternativa 4:
3.cosx - 2x.senx e -1

Alternativa 5:
3.cosx - 2x.senx e -π

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathsf{\boxed{5.}~3\cos x-2x\sin x ~e~-\pi~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Seja a função $f(x)=\sin x+2x\cdot \cos x$. Devemos determinar a derivada desta função e o valor desta derivada no ponto $x=\dfrac{\pi}{2}$.

Derivando ambos os lados, temos

$f'(x)=(\sin x+2x\cdot \cos x)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma da derivada das funções.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno.
• A derivada de um produto é dado pela regra do produto: $[g(x)\cdot h(x)]'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero, logo de acordo com a regra do produto: $(a\cdot g(x))'=a\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(\sin x)'+(2x\cdot \cos x)'$

Aplique a regra do produto

$f'(x)=(\sin x)'+(2x)'\cdot\cos x+2x\cdot (\cos x)'$

Aplique novamente a regra do produto, de acordo com a quarta propriedade

$f'(x)=(\sin x)'+2\cdot(x)'\cdot\cos x+2x\cdot (\cos x)'$

Calcule a derivada do seno, da potência e do cosseno.

$f'(x)=\cos x+2\cdot1\cdot\cos x+2x\cdot (-\sin x)$

Multiplique os valores

$f'(x)=\cos x+2\cos x-2x\sin x$

Some os termos semelhantes

$f'(x)=3\cos x-2x\sin x$

Então, agora devemos determinar o valor desta derivada no ponto $x=\dfrac{\pi}{2}$:

$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-2\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)$

Sabendo que $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ e $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$, temos

$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cdot0-2\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot1$

Multiplique os valores

$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\pi$

Estes são os resultados que buscávamos e é a resposta contida na alternativa 5.