Matemática, perguntado por filhodeskyrim, 8 meses atrás

UniCesumar Cálculo Questão 4 54/2020

Dada a função abaixo:
Seja f(x) = senx + 2x . cos x

A derivada de f(x) e f'(\frac{π}{2})
são respectivamente:

Alternativa 1:
cosx - 2x.senx e π

Alternativa 2:
cosx - 2x.senx e -2

Alternativa 3:
3.cosx - 2x.senx e π

Alternativa 4:
3.cosx - 2x.senx e -1

Alternativa 5:
3.cosx - 2x.senx e -π

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
4

Resposta:

\boxed{\mathsf{\boxed{5.}~3\cos x-2x\sin x ~e~-\pi~~\checkmark}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Seja a função f(x)=\sin x+2x\cdot \cos x. Devemos determinar a derivada desta função e o valor desta derivada no ponto x=\dfrac{\pi}{2}.

Derivando ambos os lados, temos

f'(x)=(\sin x+2x\cdot \cos x)'

Lembre-se que:

  • A derivada de uma soma de funções é igual a soma da derivada das funções.
  • A derivada da função seno é igual a função cosseno.
  • A derivada de um produto é dado pela regra do produto: [g(x)\cdot h(x)]'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x).
  • A derivada de uma constante é igual a zero, logo de acordo com a regra do produto: (a\cdot g(x))'=a\cdot g'(x).
  • A derivada de uma potência é dada por: (x^n)'=n\cdot x^{n-1}.
  • A derivada da função cosseno é o oposto da função seno.

Aplique a regra da soma

f'(x)=(\sin x)'+(2x\cdot \cos x)'

Aplique a regra do produto

f'(x)=(\sin x)'+(2x)'\cdot\cos x+2x\cdot (\cos x)'

Aplique novamente a regra do produto, de acordo com a quarta propriedade

f'(x)=(\sin x)'+2\cdot(x)'\cdot\cos x+2x\cdot (\cos x)'

Calcule a derivada do seno, da potência e do cosseno.

f'(x)=\cos x+2\cdot1\cdot\cos x+2x\cdot (-\sin x)

Multiplique os valores

f'(x)=\cos x+2\cos x-2x\sin x

Some os termos semelhantes

f'(x)=3\cos x-2x\sin x

Então, agora devemos determinar o valor desta derivada no ponto x=\dfrac{\pi}{2}:

f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-2\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)

Sabendo que \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, temos

f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cdot0-2\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot1

Multiplique os valores

f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\pi

Estes são os resultados que buscávamos e é a resposta contida na alternativa 5.

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