Question

(Unicamp) Seja a um número real e seja:

Para a=1, encontre todas as raízes reais da equação p(x)=0. Quais as raízes encontradas?

a) x=7 ou x=1

b) x=3

c) x=0 ou x=-3

d) x=8 ou x=20​

Answer 1

Para resolvermos esse exercício temos de calcular a determinante de uma matriz 3x3, para isso fazemos o seguinte procedimento de traçar as diagonais:

$A = \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}a&b\\d&e\\g&h\end{array}\right]$

E multiplicamos nas diagonais, mantendo o sinal para quando descemos e trocando o sinal quando subimos, o que nos resultará em:

$det(A) = a*e*i+b*f*g+c*d*h-g*e*c-h*f*a-i*d*b$

Faremos a mesma coisa:

$p(x) = det\left[\begin{array}{ccc}3-x&-1&\sqrt{2}\\0&1-x&-1\\0&4&1-x\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}3-x&-1&\sqrt{2}\\0&1-x&-1\\0&4&1-x\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}3-x&-1\\0&1-x\\0&4\end{array}\right]$

Teremos que:

$p(x) = (3-x)(1-x)(1-x)-(-1)*4(3-x)$

$p(x) = (3-x)\times [(1-x)^2+4]$

Queremos x tal que p(x) = 0, portanto, igualaremos:

$(3-x)\times(x^2-2x+5) = 0$

Isso será verdade se pelo menos um dos dois termos for 0:

$3-x = 0$

$x = 3$

OU

$x^2+2x+5 = 0$

Tomando a discriminante do termo veremos que:

$\Delta = 2^2-4\times1\times5 = 4-20 = -16$

O discriminante negativo implica que o termo não iguala a 0 para nenhum x real, portanto, não haverá raízes reais nesse termo.

Assim, o único valor de x que retorna 0 em pelo menos um dos termos é 3, portanto, raiz real única x = 3. Alternativa B)

Answer 2

Substituindo 1 no lugar de a :

P(x) = det | 3-x -1 √2 |

| 0 1-x -1|

| 0 4 1-x |

Resolvendo o determinante :

P(x) = (3 - x)(1 - x)(1 - x) + 4(3 - x)

Colocando o (3 - x) em evidência e igualando P(x) a 0 :

(3 - x)[(1 - x)² +4] = 0

3 - x = 0

x = 3

ou

1 - 2x + x² + 4 = 0

x² - 2x + 3 = 0

X não possue raízes reais.

Portanto a resposta é a alternativa B.

b) x = 3

Espero ter ajudado.