Question

(UNICAMP) qual dos numeros é maior ³√3 (raiz cubica de 3) ou 4√4 (raiz quarta de 4).

Answer 1

Primeiro vamos retomar alguns conceitos básicos:

$\sqrt{x} = x^{1/2}$

então vamos lá, vamos considerar um paralelo dos dois lados para compará-los. Nós temos:

raiz cúbica de 3 = 3^1/3
raiz quarta de 4 = 4^1/4

Temos que saber qual dos dois é maior:

$3^{1/3}, 4^{1/4},$,
Sabemos que se multiplicarmos, elevarmos, ou subtrairmos dos dois lados, a proporção dos dois se manterá igual, vamos elevar os dois lados então à 3 potência, para que a elevação em 3, que é 1/3 vire 3/3 e consequentemente 1, assim teremos um número inteiro e apenas o outro lado com uma raiz.

$(3^{1/3})^3, (4^{1/4})^3 =$
$3^{3/3}, 4^{3/4} =$
$3^{1}, 4^{3/4}$,
E então, você terá que comparar esses dois valores, vamos transformar o 4 agora em raiz de volta, ele ficará:

$4^{3/4} = \sqrt[4]{4^3} = \sqrt[4]{64}$

dai, novamente, você terá que saber de outro conceito básico:

$9^1 = 3^2 = (\sqrt{3})^4 = (\sqrt{ \sqrt{3}})^8 = ...$
Ou seja, se você quer diminuir o número na potência, pegue a raiz dele e multiplique a potência por 2.

O contrário seria:

$2^{100} = 4^{50} = 16^{25} = ...$
E se você quer aumentar o número na potência, basta elevar o número ao quadrado e diminuir a potência por dois, pode verificar, dá o mesmo valor.

Tomando isso em conta

$64^{1/4} = 8^{1/2} = \sqrt{8}$

Fatore a raiz de 8 e você terá = √(2)^2(2) , tira a raiz de 2^2 vc fica com 2√2.

Mas e agora, qual dos dois é maior, 2√2, ou 3? Vamos usar a lógica novamente, quanto é raiz de 2? Observando com cuidado, você saberá que, para raiz de 2 vezes √2 ser o número maior, √2 tem que ser maior que 1,5, para que dê mais que 3, vamos ver se isso é fato:

1,5 x 1,5 = 3/2 x 3/2 = 9/4 = 2,25, logo √2,25 é 1,5, e √2, que é um número menor, terá valor menor que 1,5.

Logo 2 vezes um valor menor do que 1,5 é menor que 3, melhor dizendo:
2√2 < 3, ou 3 > 2√2

Portanto 3 é maior que 2√2.

Pode ter sido bem extensa a explicação, mas foi só porque eu quis dar cada detalhe, ao aplicar, você com certeza será mais rápido, afinal essa questão foi feita para ser rapidamente feita. Tentei ser o mais claro possível, qualquer coisa me avise.