Question

(Unicamp) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1 metro e um dos ângulos agudos é o triplo do outro. a) Calcule os comprimentos dos catetos. . b) Mostre que o comprimento do cateto maior está entre 92 e 93 centímetros.

Answer 1

$Sendo \ o \ tri\^angulo \ ret\^angulo, \ ele \ tem \ um \ \^angulo \ de \ 90^\circ. \\ \\ Seja \ este \ \^angulo \ \gamma \ = \ 90^\circ \ e \ os \ outros \ dois \ do \ \triangle \ \alpha \ e \ \beta.$

$Soma \ dos \ \^angulos \ internos \ (\alpha, \ \beta \ e \ \gamma) \ de \ um \ \triangle \ \Rightarrow \\ \\ \alpha \ + \ \beta \ + \ \underbrace{\gamma}_{\ = \ 90^\circ} \ = \ 180^\circ \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\alpha \ + \ \beta \ = \ 90^\circ}$

$Seja \ \alpha \ = \ 3 \ \cdot \ \beta \ \Rightarrow \\ \\ 3 \ \cdot \ \beta \ + \ \beta \ = \ 90^\circ \ \rightarrow \\ \\ 4 \ \cdot \ \beta \ = \ 90^\circ \ \rightarrow \\ \\ \beta \ = \ \frac{90^\circ}{4} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\beta = \ 22,5^\circ} \\ \\ E \ logo, \ \alpha \ = \ 3 \ \cdot \ \underbrace{\beta}_{\ = \ 22,5^\circ} \ \Rightarrow \\ \\ \boxed{\alpha \ = \ 67,5^\circ}$

$Arco \ duplo \ \Rightarrow \\ \\ cos(\underbrace{2 \ \cdot \ x}_{arco \ duplo}) \ = \ 2 \ \cdot \ cos^2(x) \ - \ 1 \ \rightarrow \\ \\ Para \ o \ arco \ duplo \ de \ \beta \ = \ 22,5^\circ \ \Rightarrow \\ \\ cos(2 \ \cdot \ 22,5^\circ) \ = \ 2 \ \cdot \ cos^2(22,5^\circ) \ - \ 1 \ \rightarrow \\ \\ \underbrace{cos(45^\circ)}_{\^angulo \ not\'avel \ = \ \frac{\sqrt{2}}{2}} \ = \ 2 \ \cdot \ cos^2(22,5^\circ) \ - \ 1 \ \rightarrow$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \ + \ 1 \ = \ 2 \ \cdot \ cos^2(22,5^\circ) \ \rightarrow \\ \\ \frac{\sqrt{2} \ + \ 2}{2} \ = \ 2 \ \cdot \ cos^2(22,5^\circ) \ \rightarrow \\ \\ \frac{\sqrt{2} \ + \ 2}{4} \ = \ cos^2(22,5^\circ) \ \rightarrow \\ \\ cos(22,5^\circ) \ = \ \sqrt{\frac{\sqrt{2} \ + \ 2}{4}} \ \rightarrow \\ \\ cos(22,5^\circ) \ = \ \frac{\sqrt{\sqrt{2} \ + \ 2}}{\sqrt{4}} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{cos(22,5^\circ) \ = \ \underbrace{+}_{\beta \ \ \textless \ \ 90^\circ} \frac{\sqrt{\sqrt{2} \ + \ 2}}{2}}}$

$Agora, \ vamos \ come\c{c}ar \ com \ certas \ aproxima\c{c}\~oes \dots \\ \\ \sqrt{2} \ \'e \ um \ \bold{'valor \ not\'avel'} \ e \ se \ aproxima \ de \ 1,4 \\ (14 \ \cdot \ 14 \ = \ 196, \ 1,4 \ \cdot \ 1,4 \ = \ 1,96)$

$cos(22,5^\circ) \ \approx \ \frac{\sqrt{1,4 \ + \ 2}}{2}}\ \rightarrow \\ \\ cos(22,5^\circ) \ \approx \ \frac{\sqrt{3,4}}{2}}$

$Sendo \ 18^2 \ = \ 324 \ e \ 19^2 \ = \ 361, \ e \ portanto, \\ 1,8^2 \ = \ 3,24 \ e \ 1,9^2 \ = \ 3,61, \ temos \ \Rightarrow \\ \\ 3,24 \ \ \textless \ \ 3,4 \ \ \textless \ \ 3,61 \ \rightarrow \\ \\ 1,8 \ \ \textless \ \ \sqrt{3,4} \ \ \textless \ \ 1,9 \ \rightarrow \\ \\ Observe \ que \ 3,4 \ est\'a \ aproximadamente \ 'no \ meio' \ do \ intervalo \\ \{3,24; \ 3,61\}, \ logo \ \Rightarrow \\ \\ 1,8 \ \ \textless \ \ \underbrace{\sqrt{3,4}}_{\approx \ 'no \ meio'} \ \ \textless \ \ 1,9 \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\sqrt{3,4} \ \approx \ 1,85}$

$cos(22,5^\circ) \ \approx \ \dfrac{\overbrace{\sqrt{3,4}}^{\approx \ 1,85}}{2}} \ \rightarrow \\ \\ cos(22,5^\circ) \ \approx \ \frac{1,85}{2} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{cos(22,5^\circ) \ \approx \ 0,925}}$

$\bold{O \ maior \ cateto \ \'e \ oposto \ ao \ maior \ \^angulo \ agudo \ e \ \'e \ adjacente} \\ \bold{ao \ menor \ \^angulo \ agudo.} \ (Lei \ dos \ Senos, \ etc).$

$Logo, \ o \ maior \ cateto \ (N) \ \'e \ adjacente \ a \ \beta \ e \ oposto \ a \ \alpha. \\ \\ cos(\beta) \ = \ \frac{cateto \ adjacente}{hipotenusa} \ \rightarrow \\ \\ cos(22,5^\circ) \ = \ \dfrac{N}{\underbrace{1 \ m \ (do \ enunciado)}_{100 \ cm}} \ \rightarrow \\ \\ \\ 0,925 \ \approx \ \frac{N}{100 \ cm} \ \rightarrow \\ \\ N \ \approx \ 0,925 \ \cdot \ 100 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{N \ \approx \ 92,5 \ cm}} \ \Rightarrow$

$Como \ visto, \ o \ maior \ cateto \ est\'a \ entre \ 92 \ cm \ e \ 93 \ cm \\ (mais \ perto \ de \ 92 \ cm!)$