Question

(UNESP) seja z diferente 0 um numero complexo tal que z4 é igual ao conjugado de z2. Determine o modulo e o argumento de z

Answer 1

Oi!

Para responder essa questão, acompanhe o seguinte raciocínio:

--> seja z= a+bi o complexo procurado  

então, z²=a²+2abi-b²  

ou

z²=a²-b²+2abi  

dessa forma,

z^4=(a²-b²)²+4ab(a²-b²)i-4a²b

ou

z^4=(a²-b²)²-4a²b²+4ab(a²-b²)i  

De acordo com o fornecido no enunciado , temos que:

a²-b²-2abi=(a²-b² )²- 4 a²b² + 4 a b ( a ²-b ² ) i  

daí gera as seguintes equações:

1) a²-b²=(a²-b²)²-4a²b²  

-2abi=4ab(a²-b²)i

-1=2(a²-b²)

2) (a²-b²)=-1/2  

substituindo em 1)  :

-1/2=(-1/2)²-4a²b²  

-1/2-1/4=-4a²b²  

-(2+1)/4=-4a²b²  

3/4=4a²b²  

b²=3/16a²  

substituindo em 2)  

(a²-3/16a²)=-1/2  

16a^4-3=-8a²

16a^4+8a²-3=0  

chamando a²=x

16x²+8x-3=0  

∆=64+64.3=256

x=(-8+-16)/32  

x=1/4  e

x=-8/32

x=-1/4,( não serve)  

então  se

a²=x  

a²=1/4  

a=+-1/ √ 4=+- 1/2    

a=+- 1/2  

substituindo em 1)  :

1/4-b²=-1/2  

b²=1/4+1/2=3/4  

b=+-√ 3/2  

portanto,

z=+-1/2+-√ 3/2i  

--> módulo  : IzI=√ (1/4+3/4)=√( 4/4)= 1  

IzI= 1  

--> o argumento de z ( ângulo t )  

cost=a/IzI  

cost=(+-1/2)/1=+-1/2  

cost=+-1/2  

--> as menores determinação de t são  

t= 60 se cost=1/2  

t=120 se cost=-1/2  

ou

t=arccos(1/2)  

t=arcos(-1/2)  

Assim, podemos concluir que z=+-1/2+-√ 3/2i é o complexo procurado