Question

Prove que o triângulo de vértices A (2, 3, 1), B (2, 1, -1) e C (2, 2, -2) é um triângulo retângulo.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Rodrigo, que a resolução é simples.
Pede-se para provar que é retângulo o triângulo que tem vértices em A(2; 3; 1), B(2; 1; -1) e C(2; 2; -2).
Veja: para isso, deveremos provar que o lado de maior medida será a hipotenusa e que essa hipotenusa ao quadrado será igual à soma de cada cateto ao quadrado (conforme Pitágoras).
Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Cálculo da distância do lado AB, com A(2; 3; 1) e B(2; 1; -1)

(AB)² = (2-2)² + (1-3)² + (-1-1)²
(AB)² = (0)² + (-2)² + (-2)²
(AB)² = 0 + 4 + 4
(AB)² = 8        . (I)

ii) Cálculo da distância do lado AC, com A(2; 3; 1) e C(2; 2; -2):

(AC)² = (2-2)² + (2-3)² + (-2-1)²
(AC)² = (0)² + (-1)² + (-3)²
(AC)² = 0 + 1 + 9
(AC)² = 10          . (II)

iii) Cálculo da distância do lado BC, com B(2; 1; -1) e C(2; 2; -2)

(BC)² = (2-2)² + (2-1)² + (-2-(-1))²
(BC)² = (0)² + (1)² + (-2+1)²
(BC)² = (0)² + (1)² + (-1)²
(BC)² = 0 + 1 + 1
(BC)² = 2        . (III).

iv) Agora veja que as expressões (I), (II) e (III) dão, respectivamente  que:

(AB)² = 8        . (I)
(AC)² = 10          . (II)
(BC)² = 2        . (III)

Veja: aplicando Pitágoras, então o lado maior (hipotenusa) ao quadrado deverá ser igual à soma de cada cateto ao quadrado. Então, veja que temos isto aí em cima:

(AC)² = (AB)² + (BC)² ----- fazendo as devidas substituições, teremos isto:

10 = 8 + 2
10 = 10 <---- Pronto. Está provado que o triângulo da sua questão é retângulo.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

A prova de que o triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2,-2) é retângulo está descrita abaixo.

Considere que temos dois pontos: A = (xa,ya,za) e B = (xb,yb,zb). A distância entre dois pontos é definida por:

• d² = (xb - xa)² + (yb - ya)² + (zb - za)².

Sendo assim, vamos calcular as distâncias entre A e B, A e C, B e C.

Distância entre A e B

d² = (2 - 2)² + (1 - 3)² + (-1 - 1)²

d² = 0² + (-2)² + (-2)²

d² = 4 + 4

d² = 2.4

d = 2√2.

Distância entre A e C

d² = (2 - 2)² + (2 - 3)² + (-2 - 1)²

d² = 0² + (-1)² + (-3)²

d² = 1 + 9

d² = 10

d = √10.

Distância entre B e C

d² = (2 - 2)² + (2 - 1)² + (-2 - (-1))²

d² = 0² + 1² + (-1)²

d² = 1 + 1

d² = 2

d = √2.

Se o triângulo ABC for retângulo, então o Teorema de Pitágoras deverá ser satisfeito.

Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, obtemos:

(√10)² = (√2)² + (2√2)²

10 = 2 + 4.2

10 = 2 + 8

10 = 10.

Portanto, o triângulo ABC é retângulo.

Para mais informações sobre triângulo retângulo: https://brainly.com.br/tarefa/19218222