Question

(UNESP–2007) Um fazendeiro plantou 3 960 árvores em sua propriedade no período de 24 meses. A plantação foi feita mês a mês em progressão aritmética. No primeiro mês, foram plantadas x árvores, no mês seguinte (x + r) árvores, r > 0, e assim sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo-se que ao término do décimo quinto mês do início do plantio ainda restavam 2 160 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro mês foi

Answer 1

 A soma dos termos de uma PA se da pela fórmula:

(a₁ + an). n/2 (onde n é o número de termos)

Se no total ele plantou 3960 em 24 meses, temos:

3960 = (a₁ + a₂₄). 12
Onde a₂₄ = a₁ + 23r
3960 = (a₁ + a₁ + 23r). 12

3960 = (2a₁ + 23r). 12
2a₁ + 23r = 3960/12
2a₁ + 23r = 330

Mas ao término do 15° ele restavam 2160 para serem plantadas. Portanto:

3960 - 2160 = 1800

1800 = (a₁ + a₁₅). 7,5
Onde a₁₅ = a₁ + 14r

1800 = (a₁ + a₁ + 14r).7,5
1800 = (2a₁ + 14r).7,5
2a₁ + 14r = 1800/7,5
2a₁ + 14r = 240
a₁ + 7r = 120

2a₁ + 23r = 330 (isolamos o r)
a₁ + 7r = 120

r = (330 - 2a₁)/23
a₁ + 7r = 120

Substituindo:

a₁ + 7[(330 - 2a₁)/23] = 120
a₁ + (2310 - 14a₁)/23 = 120
23a₁ + 2310 - 14a₁ = 2760
9a₁ = 2760 - 2310
9a₁ = 450
a₁ = 450/9
a₁ = 50

a₁ + 7r = 120
50 + 7r = 120
7r = 120 - 50
r = 70/7
r = 10

Logo, o fazendeiro plantou no primeiro mês 50 árvores, e foi aumentando 10 árvores, e no fim plantará 3960 árvores em 24 meses.

=)