Question

uma xícara contém 30 ml de café a 60 ºc. qual a quantidade, em ml, de leite frio, cuja temperatura é de 10 ºc, que devemos despejar nessa xícara para obtermos uma mistura de café com leite a 40ºc? considere as trocas de calor apenas entre o café e o leite, seus calores específicos iguais e suas densidades iguais a 1 g / cm3.

Answer 1

Resposta: O volume necessário de leite frio que precisamos no xícara é igual a 2 ml (mililitros).

Para resolver este problema, vamos levar em conta um fenômeno físico conhecido como equilíbrio térmico.

O equilíbrio térmico é aquele estado em que as temperaturas de dois corpos são iguais, em que eles têm temperaturas diferentes. Uma vez que as temperaturas se igualam, o fluxo de calor para, atingindo ambos os corpos no termo de equilíbrio mencionado acima.

Recordemos que a equação que permite quantificar a quantidade de calor que se troca nas transferências entre os corpos é a seguinte:

$\sf Q = m\cdot C e \cdot \Delta T$

Na referida equação, Q representa a quantidade de calor expressa em calorias, enquanto m representa a massa do corpo em estudo. Por sua vez, Ce representa o calor específico do corpo e o símbolo ΔT é a diferença de temperatura.

Em nosso problema levamos em consideração uma xícara que contém 30 mL de café que está a uma temperatura de 60°C, sabendo disso devemos encontrar o volume em mL de leite frio que está a uma temperatura de 10°C que devemos despejar na xícara para obter uma mistura de café e leite a uma temperatura de 40 ° C.

Primeiro, vamos anotar todos os dados fornecidos pelo problema para encontrar sua solução, os dados são os seguintes:

$\begin{cases}\sf V_{caf\'e}=30~mL\\ \sf V_{leite~frio}=?~mL\\ \sf \Delta_{caf\'e}= 40~^oC-60~^oC=-20~^oC\\ \sf \Delta T_{leite~frio}=40~^o C-10~^o C=30~^o C\\\sf \rho_{leite ~frio~e~caf\'e}=1~g/cm^3=1~g/ml\\ \sf Ce _{leite~frio~e~caf\'e}= c~cal/g ^o C\end{cases}$

Como o corpo A (café) e o corpo B (leite fria) estão em contato térmico entre si, mas isolados do ambiente, a quantidade total de calor trocado deve ser zero, decide-se que:

$\sf Q_{caf\'e} + Q_{leite~fria}=0\\\\ \sf m_{caf\'e} Ce_{caf\'e} \Delta T _{caf\'e} + m_{leite ~fria} Ce_{leite~fria} \Delta T _{leite~fria}=0$

Em primeiro lugar vamos encontrar o valor da massa de café , pode ser que nos perguntemos como vamos calcular a massa de um corpo conhecendo apenas o seu volume, a resposta é simples, pois se conhecermos a sua densidade podemos conhecer sua massa, lembremos que a densidade é uma relação entre massa e volume que é calculada pela fórmula:

$\sf \rho=\dfrac{m}{V}\\\\Multiplicando~ V~ em~ ambas ~as ~partes:\quad \sf \rho\cdot V=\dfrac{m}{\not\! V}\cdot \not\! V \\\\ \sf \rho \cdot V=m$

Substituindo a densidade do café e seu volume, obtemos como resultado:

$\sf 1~g/\not\!ml\cdot 30~\not\!ml=m\\\\ \sf 30~g=m$

Uma vez calculados todos os nossos dados, procedemos à substituição do valor destes dados na fórmula principal para encontrar a massa de leite frio que foi utilizada na mistura entre café e leite, obtendo assim a equação:

$\sf \sf 30\cdot c\cdot (-20)+ m_{leite~fria}\cdot c\cdot 30 =0\\\\\sf -60 c+ 30c m_{leite~fria} =0\\\\ \sf 30c m_{leite~fria} =60 c\\\\ \sf m_{leite~fria} =\dfrac{60 c}{30c}\\\\ \sf m_{leite~fria} = 2~g$

Calculando o volume de leite frio que precisamos, para isso vamos multiplicar 1/ρ em ambas as partes da equação que representa a densidade:

$Multiplicando~ 1/\rho~ em~ ambas ~as ~partes:\quad \sf V\cdot \not\!\rho\cdot\dfrac{1}{\not\!\rho}=m\cdot \dfrac{1}{\rho}\\\\ \sf V=\dfrac{m}{\rho}$

Substituindo temos que o volume de leite frio que precisamos para fazer a mistura de café e leite é igual a:

$\sf \dfrac{2~\not\!\!g}{1~\not\!\!g/ml}=V\\\\ \boxed{\sf 2~ml=V}$