Question

Uma urna contém 5 bolas numeradas com 1, raiz de dois, 2, raiz de 8 e 4. Sorteando-se ao acaso, e com reposição de duas bolas, a probabilidade percentual de que o quociente entre o número da primeira bola pelo número da segunda seja irracional.

GABARITO:48%

Ajuda pfvr!!!

Answer 1

→ Irei primeiro começar definindo o espaço amostral ( Ω ) 

→ As bolas que poderão ser retiradas podem ser expressas por :
 _ , _ . Onde em cada traço representaria a possibilidade de sair determinada bola da urna
 
              _    ,     _     = Ω
           (  x )  .  ( x-1) =   N possibilidades

→ Onde '' x '' representaria as bolas que ainda podem ser sorteadas

→ Acontece que irá ocorrer reposição de bolas então o espaço amostral por ser calculado por
 
               _   ,   _   =  Ω
               x   .   x    = N possibilidades

    Ω = x²
    Ω = 5²
    Ω = 25 eventos

→ Então o espaço amostral é Ω = 25

→ Para que a razão entre duas bolas pertencentes ao conjunto {$1 , \sqrt{2} , 2 , \sqrt{8} , 4$}  sejam irracionais teremos que :

→ Uma das bolas terá de apresenta um número irracional , no caso { $\sqrt{2} , \sqrt{8}$ } , no denominador ou no numerador

→ Também não poderemos sortear as bolas com $\sqrt{2}$ e $\sqrt{8}$ porque a razão entre esse dois números resultaria num número racional

→ A primeira bola que será sorteada comporá o numerador e a segunda o denominador

→Começarei analisando com a bola que contém $\sqrt{2}$
 
               $\sqrt{2}$ ,  _   = M

→ Onde M representa os eventos que podem acontecer

→ Onde $\sqrt{2}$ , _ representaria as bolinhas sorteadas
         
                    $\sqrt{2}$ ,   _   =  M
                       1   .   3    = 3 eventos

→ Como existe somente uma bolinha com $\sqrt{2}$ , então para sair outra bolinha cuja razão seria um número irracional , essa bolinha deverá ser { 1 , 2 , 4 } por isso está multiplicado por 3 mais acima

→ Agora $\sqrt{2}$ para o denominador :
             
                           _   ,  $\sqrt{2}$ = T
                           3   .    1 = 3 possibilidades
 
→ Quando $\sqrt{2}$ no denominador apresentaríamos 3 casos também

→ Ao analisarmos o termo $\sqrt{2}$ tanto no numerador quando denominador teríamos 6 casos

→ Aplicando o mesmo raciocínio para $\sqrt{8}$ encontraríamos outros 6 casos

→ Então a probabilidade é definida pela razão entre os eventos favoráveis por todos os eventos que podem acontecer ( Ω ) 

→$P' = \frac{6}{25}$ , para $\sqrt{2}$

→$P'' = \frac{6}{25}$ , para $\sqrt{8}$

→ Como nessa questão iremos utilizar a '' Regra do OU '' ( porque ele quer um número irracional , não importando qual seja desde que seja irracional ) , então as probabilidades serão somadas :

$P = P ' + P''$
$P = \frac{6}{25} + \frac{6}{25}$
$P = \frac{12}{25}$ ou $P = 48$%