Question

Uma sorveteria, a partir de exaustivos estudos, descobriu que o lucro total diário do estabelecimento
pode ser determinado em função do preço de venda (x) pela expressão ( ) 100 400 100 2 L x   x  x  .
Com base nas informações acima, responda:
a) Quais os intervalos de preço que fazem a empresa trabalhar no prejuízo?
b) Qual o intervalo de preço em que a empresa opera com lucro positivo?
c) Qual o preço que propicia maior lucro? Qual é este lucro?

Answer 1

A função lucro possui uma equação do segundo grau.

Como sabemos, se o primeiro termo da função for negativo, teremos uma parábola com concavidade para baixo. A região do lucro, será a parte da concavidade que ficará acima do eixo x, e do prejuízo, abaixo do eixo x. Os pontos de equilíbrio, sem lucro nem prejuízo, são as raízes da equação.

Encontrando as raízes:

$L(x)=-100x^2+400x-100\\\\ Aplicando\ Bh\'askara:\\\\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4.a.c}}{2a}\\\\ x=\dfrac{-400\pm\sqrt{160.000-40.000}}{-200}\\\\ x=\dfrac{-400\pm\sqrt{120.000}}{-200}\\\\ x=\dfrac{-400\pm\sqrt{2^2\times 2^2 \times 2^2\times 3\times 5^2 \times 5^2}}{-200}\\\\ x=\dfrac{-400\pm(2 \times 2\times 2 \times 5\times5)\sqrt{3}}{-200}\\\\ x=\dfrac{-400\pm200\sqrt{3}}{-200}\ \ (\div 200)\\\\ x=2\pm\sqrt{3}\\\\ \boxed{x'=2+\sqrt{3}}\\\\ \boxed{x''=2-\sqrt{3}}$

a) O intervalo de preço operando no prejuízo:

$S=\{x \in \mathbb{R}\ /\ x \ \textless \ 2-\sqrt{3} \ \ e\ \ x \ \textgreater \ 2+\sqrt{3}\}\\\\\\ S_1\ =\ \ ]-\infty,\ 2-\sqrt{3}\ [\\\\S_2\ =\ ]\ 2+\sqrt{3},\ +\infty\ [$

b) O intervalo de preço operando no lucro:

$S=\{x \in \mathbb{R}\ /\ 2-\sqrt{3} \ \textgreater \ x \ \textless \ 2+\sqrt{3}\}\\\\\\ S\ =\ \ ]\ 2-\sqrt{3}\ ,\ 2+\sqrt{3}\ [$

c) Utilizando a fórmula de maximização de lucro:

$x_v=\dfrac{-b}{2a}\\\\ x_v=\dfrac{-400}{-200}\\\\ \boxed{x_v=R\ \ 2,00}$

Espero ter ajudado.
Bons estudos!