Uma sequência numérica tem seu termo geral representado por An, para n ≥ 1. Sabe-se que a = 0 e que a sequência cujo termo geral é Bn = An+1 - An, n ≥ 1, é uma progressão aritmética cujo primeiro termo é b1 = 9 e cuja razão é igual a 4.
(A) 2.002.991
(B) 2.002.995
(C) 4.000.009
(D) 4.009.000
(E) 2.003.000
Soluções para a tarefa
Resposta:
letra B
Explicação passo a passo:
Se trata de duas P.As onde uma (b) é a "razão" da outra (a)
bn = an+1 - an
b1 = a1+1 - a1
b1 = a2 - a1
9 = a2 + 0
9 + 0 = a2
a2 = 9
mais uma vez:
b2 = a2+1 - an
b2 = a3 - a2
13 = a3 - 9
13 + 9 = a3
a3 = 22
observe que o a3 é a soma dos dois primeiros termos de 'b' (b1 + b2: 9 + 13). Podemos concluir então que a soma dos termos de 'b' resultam nos valores de 'a'.
a = (0, 9, 22, 39...) razão: valores b
b = (9, 13, 17, 21...) razão: 4
se queremos a1000, devemos somar os 999 termos de 'b':
bn = a1 + (n-1) * r
b999 = 9 + 998 * 4
b999 = 4001
Sn = (a1 + an)*n
ﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠ2
S999 = (9 + 4001) * 999
ﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠ2
S999 = 4010 * 999
ﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠ2
S999 = 4005990
ﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠﾠ2
S999 (de 'b') = 2.002.995 ou seja: a1000 = 2.002.995
Da sequência numérica, temos que a₁₀₀₀ corresponde a 2.002.995, alternativa B.
Progressão aritmética
Uma progressão aritmética é caracterizada por uma sequência de valores crescentes ou decrescentes, onde a diferença entre um valor e seu antecessor é sempre constante. O termo geral da P.A. é dado por aₙ = a₁ + (n-1)·r.
Da sequência Bn, temos o primeiro termo e a razão, logo:
B₁ = 9
B₂ = 13
B₃ = 17
Se A₁ = 0, temos:
B₁ = A₂ - A₁
9 = A₂ - 0
A₂ = 9
B₂ = A₃ - A₂
13 = A₃ - 9
A₃ = 22
Continuando, teremos:
B = {9, 13, 17, 21, 25, ...}
A = {0, 9, 22, 39, 50, ...}
Note que temos cada termo de A é a soma de todos os termos anteriores de B, ou seja:
Aₙ = B₁ + B₂ + ... + Bₙ₋₁
Teremos então que A₁₀₀₀ será igual a soma dos 999 primeiros termos de B:
A₁₀₀₀ = (B₁ + B₉₉₉)·999/2
A₁₀₀₀ = (9 + 9 + (999 - 1)·4)·999/2
A₁₀₀₀ = 4010·999/2
A₁₀₀₀ = 2.002.995
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