Question

Uma sequência muito
conhecida é a sequência de Fibonacci (uma sequência de números naturais, que inicia pelo número um, em que cada número
é a soma dos dois números anteriores - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,) Esta sequência já figurou, inclusive, na literatura
e cinema internacionais, quando utilizada no livro e filme homônimo “O Código
Da Vince”.

a)Obtenha uma fórmula recursiva para esta sequência.

b) Mostre por indução matemática, que f1+f2+...+fn=fn+2 -1

Answer 1

Olá, Fernando.


a) Fórmula recursiva:

$F_n=\begin{cases}1,\text{se }n=1\\\\F_{n-1}+F_{n-2},\text{se }n>1\end{cases}$


b) Demonstração, por indução, da propriedade
$F_1+F_2+...+F_n=F_{n+2} -1$:

(i) para n = 1 temos: $F_1=F_3-1\Rightarrow F_3=F_1+1=1+1=2\text{ (verdadeiro)}$

(ii) mostrar que, assumindo-se a hipótese de que a proposição é verdadeira para n, ela também é verdadeira para n+1:

$\underbrace{F_1+F_2+...+F_n}_{=F_{n+2} -1}+F_{n+1}=\\\\\\=F_{n+2} -1+F_{n+1}=\\\\=\underbrace{F_{n+1}+F_{n+2}}_{F_{n+3}} -1=\\\\\\=F_{n+3}} -1\text{ (cqd)}$