Question

uma sala tem 6 lampadas com interruptor independentes.o numero de modos dei iluminar essa sala acendendo pelo menos uma lampada

Answer 1

Resposta:

63

Explicação passo-a-passo:

como são interruptores independentes, a sala estará iluminada se pelo menos uma lâmpada estiver acesa.

Cada lâmpada tem duas possibilidades de resultado, ou seja, pode estar acesa ou apagada, logo agrupando as possibilidade de cada uma e utilizando o princípio multiplicativo:

2x2x2x2x2x2=64 possibilidades de resultados entre as seis lâmpadas.

porém das 64 possibilidades somente uma não serve, que é quando todas estão apagadas, e portanto:

64-1=63.

Answer 2

Nesta situação, a ordem com que as lâmpadas são acesas não tem importância, pois só estamos interessados em quais lâmpadas serão acesas.

Dito isso, poderemos então utilizar combinações.

Ainda, podemos ter 6 diferentes situações dependendo do numero de lâmpadas ligadas:

$\rightarrow~1~Lampada~Acesa:~~\boxed{C_{6,1}~modos~de~escolha}\\\\~~~~~~C_{6,1}~=~\frac{6!}{1!(6-1)!}~=~\frac{6~.~5!}{1~.~5!}~=~\boxed{6~modos~de~escolha}\\\\\\\rightarrow~2~Lampadas~Acesas:~~\boxed{C_{6,2}~modos~de~escolha}\\\\~~~~~~C_{6,2}~=~\frac{6!}{2!(6-2)!}~=~\frac{6~.~5~.~4!}{2~.~4!}~=~\frac{6~.~5}{2}~=~\boxed{15~modos~de~escolha}$

$\rightarrow~3~Lampadas~Acesas:~~\boxed{C_{6,3}~modos~de~escolha}\\\\~~~~~~C_{6,3}~=~\frac{6!}{3!(6-3)!}~=~\frac{6~.~5~.~4~.~3!}{3~.~2~.~3!}~=~\frac{6~.~5~.~4}{3~.~2}~=~\boxed{20~modos~de~escolha}\\\\\\\rightarrow~4~Lampadas~Acesas:~~\boxed{C_{6,4}~modos~de~escolha}\\\\~~~~~~C_{6,4}~=~\frac{6!}{4!(6-4)!}~=~\frac{6~.~5~.~4!}{4!~.~2!}~=~\frac{6~.~5}{2}~=~\boxed{15~modos~de~escolha}$

$\rightarrow~5~Lampadas~Acesas:~~\boxed{C_{6,5}~modos~de~escolha}\\\\~~~~~~C_{6,5}~=~\frac{6!}{5!(6-5)!}~=~\frac{6~.~5!}{5!~.~1!}~=~\boxed{6~modos~de~escolha}\\\\\\\rightarrow~6~Lampadas~Acesas:~~\boxed{C_{6,6}~modos~de~escolha}\\\\~~~~~~C_{6,6}~=~\frac{6!}{6!(6-6)!}~=~\frac{6!}{6!~.~0!}~=~\frac{6!}{6!~.~1}~=~\boxed{1~modo~de~escolha}$

Teremos então:   6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1  =  63 modos de escolha