Question

Uma reta r intersecta o eixo x e o eixo y nos pontos A = (a,0) e B = (b,0) respectivamente, com a,b > 0. Sabendo que o ângulo BbAO é de 30◦, onde O = (0,0) e que a área do triângulo BOA vale 6√3, determine a equação da reta r.

Answer 1

Boa tarde

Sendo S a área do triângulo temos :

$S= \dfrac{a*b}{2}=6 \sqrt{3} \Rightarrow a*b=12 \sqrt{3} \\ \\ tg 30^{o}= \dfrac{b}{a}= \dfrac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow b = \dfrac{a \sqrt{3} }{3} \\ \\ \\ a*b=a* \dfrac{a \sqrt{3} }{3}=12 \sqrt{3} \Rightarrow a*a \sqrt{3} =3*12 \sqrt{3} \\ \\ a^{2}=36\Rightarrow a=6 \quad\quad\quad [ a \ \textgreater \ 0 ] \\ \\ b= \dfrac{a \sqrt{3} }{3} \Rightarrow b= \dfrac{6 \sqrt{3} }{3} \Rightarrow b=2 \sqrt{3}$

Os pontos têm coordenadas :  A(6,0)  e  B(0,2√3)

Se a reta r tem equação   ( r )  → y = mx + n

B ∈ r ⇒ 2√3 = m*0+ n ⇒ n = 2√3

A ∈ r ⇒ 0 = 6m+n ⇒6m = -n ⇒ m= ( - n) / 6 ⇒ m= (-2√3)/6  = - √3  / 3

A equação da reta  é y = -(√3 / 3)x +2√3   ou     √3 x+3y-6√3 = 0