Uma reta r é perpendicular a uma reta s. Sabendo que a equação geral da reta r é 3x-y-15=0 e que passa pelo ponto (3,4), a equação reduzida da circunferência que tem como centro o ponto de intersecção entre r e s e raio a 3 é:
resposta gabarito: (x-6)^2 + (x-3)^2 = 9
Soluções para a tarefa
A equação reduzida de uma circunferência com centro C = (a, b) e raio R é a seguinte:
(x - a)² + (y - b)² = R²
Veja que o enunciado já disse qual é o raio da circunferência (R = 3). Portanto, para determinarmos a equação reduzida da circunferência, falta encontrar somente as coordenadas do centro da circunferência, que é a intersecção das retas r e s.
O ponto de intersecção das retas r e s pode ser encontrado se igualarmos as equações da reta r e s. Porém, o enunciado só deu a equação da reta r. Então, devemos encontrar a equação da reta s baseando-se nas outras informações que o enunciado forneceu.
Uma reta tem equação reduzida y = ax + b, onde "a" é o coeficiente angular" e "b" é o coeficiente linear. Para determinar a equação da reta, devemos encontrar os valores dos coeficientes angular e linear.
Como a reta s é perpendicular à reta r, podemos afirmar que o coeficiente angular da reta s é o oposto do inverso do coeficiente angular da reta r.
A equação reduzida da reta r é:
3x - y - 15 = 0
y = 3x - 15
Portanto, observamos que o coeficiente angular da reta r é 3.
Se o coeficiente angular da reta r é 3, então o coeficiente angular da reta s será o oposto do inverso de 3, que é -1/3. Encontramos o coeficiente angular da reta s.
A reta s terá a seguinte equação reduzida:
y = ax + b
y = (-1/3)x + b
y = -x/3 + b
O enunciado afirma que a reta s passa pelo ponto (3, 4). Logo, podemos substituir as coordenadas desse ponto na equação da reta s:
y = -x/3 + b
4 = -3/3 + b
4 = -1 + b
b = 4 + 1
b = 5
Encontramos o coeficiente linear da reta s.
Portanto, a equação reduzida da reta s é:
y = ax + b
y = (-1/3)x + 5
y = -x/3 + 5
Agora, voltando à reta r, sabemos que ela é y = 3x - 15. Então, igualando as duas retas, temos:
r = s
3x - 15 = -x/3 + 5
3x + x/3 = 5 + 15
9x/3 + x/3 = 20
10x/3 = 20
10x = 60
x = 60/10
x = 6
Logo, a abscissa do ponto de intersecção das duas retas é 6. No caso, esse ponto é C = (6, y).
Para encontrar o valor de y, basta substituir x = 6 em qualquer uma das retas — visto que elas passam por esse ponto:
y = 3x - 15
y = 3.6 - 15
y = 18 - 15
y = 3
ou
y = -x/3 + 5
y = -6/3 + 5
y = -2 + 5
y = 3
Logo, temos o ponto C = (6, 3), que é o centro da circunferência.
Então, temos uma circunferência com centro de coordenadas (6, 3) e raio R = 3.
Já vimos no início que a equação reduzida da circunferência de centro (a, b) e raio R é:
(x - a)² + (y - b)² = R²
Logo, a equação da circunferência que o exercício está pedindo será:
(x - 6)² + (y - 3)² = 3²
(x - 6)² + (y - 3)² = 9