Question

Uma reta r é definida por (x,y,z) = (5 , -2 , 3) + K(1 , -3 , 0) e K pertence a R e o ponto A tem coordenadas (5 , 0 , 0 ) .
Quais as coordenadas do ponto P da reta r , e de ordenada positiva em que a distância de A a P é igual a raíz quadrada de 35.

Answer 1

Desenvolvendo a equação de $r$, temos que:

$(x,y,z)=(5,-2,3)+(k,-3k,0)$

$(x,y,z)=(5+k,-2-3k,3)$

Podemos então reescrever as coordenadas de qualquer ponto da reta em função apenas de $k$ a partir da relação acima. Sendo a distância entre os pontos igual a $\sqrt{35}$, considerando $P=(x_r,y_r,z_r)$:

$\sqrt{(x_r-5)^2+(y_r-0)^2+(z_r-0)^2}=\sqrt{35}$

$\sqrt{(x_r-5)^2+y_r^2+z_r^2}=\sqrt{35}$

$(x_r-5)^2+y_r^2+z_r^2=35$

$(5+k-5)^2+(-2-3k)^2+3^2=35$

$k^2+(-2-3k)^2+3^2=35$

$k^2+9k^2+12k+4+9=35$

$10k^2+12k+13=35$

$10k^2+12k-22=0$

$5k^2+6k-11=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

$k=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot5\cdot(-11)}}{2\cdot5}$

$k=\frac{-6\pm\sqrt{36+220}}{10}$

$k=\frac{-6\pm\sqrt{256}}{10}$

$k=\frac{-6\pm16}{10}$

$k=\frac{-3\pm8}{5}$

$k\in\{-11/5,1\}$

O enunciado da questão diz que a ordenada do ponto $P$ (coordenada $y$) deve ser positivo, logo $k=1$ não é válido pois $-2-3\cdot1=-5<0$. Concluímos então que $k=-11/5$, logo:

$P=\left(5-\frac{11}{5},-2-3\cdot(-\frac{11}{5}),3\right)$

$P=\left(\frac{14}{5},-2+\frac{33}{5},3\right)$

$P=\left(\frac{14}{5},\frac{23}{5},3\right)$