Matemática, perguntado por explicamaia, 7 meses atrás

Uma reta r é definida por (x,y,z) = (5 , -2 , 3) + K(1 , -3 , 0) e K pertence a R e o ponto A tem coordenadas (5 , 0 , 0 ) .
Quais as coordenadas do ponto P da reta r , e de ordenada positiva em que a distância de A a P é igual a raíz quadrada de 35.

Soluções para a tarefa

Respondido por Zecol
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Desenvolvendo a equação de r, temos que:

(x,y,z)=(5,-2,3)+(k,-3k,0)

(x,y,z)=(5+k,-2-3k,3)

Podemos então reescrever as coordenadas de qualquer ponto da reta em função apenas de k a partir da relação acima. Sendo a distância entre os pontos igual a \sqrt{35}, considerando P=(x_r,y_r,z_r):

\sqrt{(x_r-5)^2+(y_r-0)^2+(z_r-0)^2}=\sqrt{35}

\sqrt{(x_r-5)^2+y_r^2+z_r^2}=\sqrt{35}

(x_r-5)^2+y_r^2+z_r^2=35

(5+k-5)^2+(-2-3k)^2+3^2=35

k^2+(-2-3k)^2+3^2=35

k^2+9k^2+12k+4+9=35

10k^2+12k+13=35

10k^2+12k-22=0

5k^2+6k-11=0

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

k=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot5\cdot(-11)}}{2\cdot5}

k=\frac{-6\pm\sqrt{36+220}}{10}

k=\frac{-6\pm\sqrt{256}}{10}

k=\frac{-6\pm16}{10}

k=\frac{-3\pm8}{5}

k\in\{-11/5,1\}

O enunciado da questão diz que a ordenada do ponto P (coordenada y) deve ser positivo, logo k=1 não é válido pois -2-3\cdot1=-5<0. Concluímos então que k=-11/5, logo:

P=\left(5-\frac{11}{5},-2-3\cdot(-\frac{11}{5}),3\right)

P=\left(\frac{14}{5},-2+\frac{33}{5},3\right)

P=\left(\frac{14}{5},\frac{23}{5},3\right)

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