Question

Uma reta cruza o eixo das abscissas em x = 3 e é tangente à circunferência x2 + y2 = 4 no ponto T, de coordenadas positivas. Nas condições dadas, a ordenada y do ponto T é igual a

Answer 1

A reta procurada é tangente à circunferência em P = (x , y). Vamos supor que x = a e descobriremos o valor de y:

$x^2+y^2=4 \\ \\ a^2+y^2=4 \\ \\ y=\sqrt{4-a^2}$

O ponto de tangência é em :

$P = (a,\sqrt{4-a^2})$

Vamos derivar a função, montar a inclinação m de acordo com esse ponto e logo após, montar a equação da reta tangente nesse mesmo ponto. Acompanhe:

$\displaystyle x^2+y^2=4 \\ \\ \\ 2x+2y \, \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ \\ 2y \, \frac{dy}{dx} = -2x \\ \\ \\ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \\ \\ \\ \cdots \cdots \cdots \\ \\ \\ m = -\frac{a}{\sqrt{4-a^2}} \\ \\ \\ \cdots \cdots \cdots \\ \\ \\ y - y_{0}=m \cdot (x-x_{0}) \\ \\ \\ y- \sqrt{4-a^2}=-\frac{a}{\sqrt{4-a^2}} \cdot (x-a) \\ \\ \\ y- \sqrt{4-a^2}=-\frac{a}{\sqrt{4-a^2}}x+\frac{a^2}{\sqrt{4-a^2}} \\ \\ \\ y=-\frac{a}{\sqrt{4-a^2}}x+\frac{a^2}{\sqrt{4-a^2}}+\sqrt{4-a^2}$

$\displaystyle y=-\frac{a}{\sqrt{4-a^2}}x+\frac{4}{\sqrt{4-a^2}}$

Perceba que essa mesma reta toca a abcissa em x = 3, daí podemos isolar o x nessa equação que acabamos de montar para tentar encontrar o valor de a. Veja:

$\displaystyle -\frac{a}{\sqrt{4-a^2}}x+\frac{4}{\sqrt{4-a^2}} =0\\ \\ \\ \displaystyle -\frac{a}{\sqrt{4-a^2}}x=-\frac{4}{\sqrt{4-a^2}} \\ \\ \\ \frac{a}{\sqrt{4-a^2}}x=\frac{4}{\sqrt{4-a^2}} \\ \\ \\ x = \frac{4}{\sqrt{4-a^2}} \cdot \frac{\sqrt{4-a^2}}{a} \\ \\ \\ x=\frac{4}{a} \\ \\ \\ 3=\frac{4}{a} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{a=\frac{4}{3}}}$

Portanto b é igual a:

$\displaystyle b = \sqrt{4-a^2} \\ \\ \\ b = \sqrt{4-(\displaystyle \frac{4}{3})^2} \\ \\ \\ b= \sqrt{4-\frac{16}{9}} \\ \\ \\ b=\sqrt{\frac{20}{9}} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{b=\frac{2\sqrt{5}}{3}}}$

Portanto a reta tangente à circunferência x² + y² = 4 em P = (4/3 , 2√5/3) de coordenadas positivas toca a abcissa em x = 3.