Question

Uma rede de água potável deve ligar uma caixa de abastecimento situada á
margem de um rio de 500 m de largura a um conjunto BNH situado na outra
margem do rio, 2000m abaixo da caixa. O custo da obra através do rio é
de R$ 640,00 por metro e  na terra  é de R$ 312,00 por metro. Qual a
forma mais econômica( menos custo) de se instalar a rede de água
potável?

Answer 1

A Função que nos fornecera o valor da obra em função e de x será dada por:     
f(x)= 312(2000-x)+640(x²+500²)^(1/2) , logo , derivando esta função e igualando ela a zero obtemos os seus ou seu ponto critico, como segue:  
640x / (250000+x²)^(1/2) - 312 = 0 resolvendo esta equação encontramos um valor aproximado de x  = 279,17.

  Como f" (279,17) > 0, temos que x = 279,17 e um ponto de mínimo relativo. Resta-nos saber se este mínimo e absoluto no intervalo O 5 x 5_ 2000. Como o único ponto critico de f no intervalo aberto (0, 2000) é  este ponto e mínimo absoluto neste intervalo. Como f(0) > f(279,17) e f(2000) > f(279,17), concluímos que a obra poderá ser realizada com o menor custo possível se a canalização de agua alcançar o outro lado do rio 279,17 m abaixo da central de abastecimento.
Este exercício é um exemplo do livro Cálculo A da Diva Flemming. esta na pagina 298.