Question

Uma questão sobre imagem inversa.
Seja f:R -->R a função definida por f(x) =
{x+2 se x ≤ -1
{x², se -1 < x ≤ 1
{4, se x > 1
Lembrando que A está contido no R, então f-¹(A) = {x ε R : f(x) ε A, encontrar:
a) f-¹(R-)
b) f-¹[0, 1]
c) f-¹[5, 6]
d) f-¹(R+)
Não sei se as respostas abaixo estão corretas. Eu resolvi mais não tenho certeza.
a) ]-∞, -2] b) [-2, 0] U [0, 1] c) { } d) [-2, +∞[

Answer 1

Resolução:

O exercício nos fornece uma função $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ cuja lei de formação é dada por:

$f(x) = \left \{\begin{matrix}x+2,\ \, se\ \ \ \mbox{}x\,\leq\,-1 \mbox{\ \ \ \ \ \ } \\\\x^{2},\ \,se\ \ \mbox{}-1\,<\,x\,\leq\,1 \mbox{\ \ }\ \\\\4,\ \, se\ \ \ \mbox{}x\,>\,1 \mbox{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \end{matrix} \right$

Também nos foi informado que, se $A$ é subconjunto dos reais, então  $f^{-1}(A)=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\, f(x)\ \in\, A\}$. Ou seja:

$A\subseteq\mathbb{R}\ \Longrightarrow\ f^{-1}(A)=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\, f(x)\ \in\ A\}$

Assim sendo, vamos à resolução de cada um dos itens subsequentes:

Item a):

Queremos descobrir qual é o conjunto $f^{-1}(\mathbb{R_{-}})=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\, f(x)\ \in\ \mathbb{R_{-}}\}$. Com isso, basta restringir cada uma das três leis de formação para a função $f(x)$ ao conjunto dos números reais não positivos $\mathbb{R_{-}}$, e também fazer as devidas interseções com seus respectivos intervalos de definição. Para dar seguimento à resolução, deve-se salientar o fato da existência de três possibilidades (três conjuntos disjuntos) para o conjunto $f^{-1}(\mathbb{R_{-}})$, que são:

$f^{-1}(\mathbb{R_{-}})=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\, x+2\,\leq\,0\ \, \land\ \, x\,\leq\,-1\}\\\\f^{-1}(\mathbb{R_{-}})=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\, x^{2}\,\leq\,0\ \, \land\ \, -1\,<x\,\leq\,1\}\\\\f^{-1}(\mathbb{R_{-}})=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\, 4\,\leq\, 0\ \, \land\ \, x\,>\,1\}$

O que equivale, respectivamente, a:

$f^{-1}(\mathbb{R_{-}})=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\, x\,\leq\,-2\ \, \land\ \, x\,\leq\,-1\}=(-\infty,-2]\\\\f^{-1}(\mathbb{R_{-}})=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\, x=0\ \, \land\ \, -1\,<\,x\,\leq\,1\}=\{0\}\\\\f^{-1}(\mathbb{R_{-}})=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\, 4\,\leq\,0\ \, \land\ \, x\,>\,1\}=\varnothing$

Por fim, o conjunto $f^{-1}(\mathbb{R_{-}})$ é obtido através da reunião (união) dos três conjuntos resultantes acima. Portanto:

$f^{-1}(\mathbb{R_{-}})\,=\,(-\infty,-2]~\cup~\{0\}~\cup~\varnothing\,=\,(-\infty,-2]~\cup~\{0\}$

Item b):

Procedendo de modo análogo ao descrito no item a), temos que $f^{-1}\Big([0,1]\Big)$ vale:

$f^{-1}\Big([0,1]\Big)=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\,f(x)\ \in\ [0,1]\}\ \ \ \Longrightarrow$

$f^{-1}\Big([0,1]\Big)=\Big([-2,-1]~ \cap~(-\infty,-1]\Big)~\cup~\Big([-1,1]~ \cap~(-1,1]\Big)~ \cup~\,\varnothing\ \ \ \Longrightarrow$

$f^{-1}\Big([0,1]\Big)=[-2,-1]~\cup~(-1,1]~\cup~\varnothing\ \ \ \Longrightarrow$

$f^{-1}\Big([0,1]\Big)=[-2,1]$

Item c):

A resolução deste também é análoga ao item a). Assim sendo, $f^{-1}\Big([5,6]\Big)$ é dado por:

$f^{-1}\Big([5,6]\Big)=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\, f(x)\ \in\ [5,6]\}\ \ \ \Longrightarrow$

$f^{-1}\Big([5,6]\Big)=\Big([3,4]~\cap~(-\infty,-1]\Big)~\cup~\Bigg((-1,1]~\cap~\Big(\left[\sqrt{5},\sqrt{6}\,\right]~\cup~\left[-\sqrt{6},-\sqrt{5}\,\right]\Big)\Bigg)~\cup~ ~\varnothing\ \ \ \Longrightarrow$

$f^{-1}\Big([5,6]\Big)=\varnothing~~\cup~~\varnothing~~\cup~~\varnothing\ \ \ \Longrightarrow$

$f^{-1}\Big([5,6]\Big)=\varnothing=\{~\}$

Item d):

Por fim, o conjunto $f^{-1}(\mathbb{R_{+}})$ também é obtido da seguinte forma:

$f^{-1}(\mathbb{R_{+}})=\{x\ \in\ \mathbb{R}:\,f(x)\ \in\ \mathbb{R_{+}}\}\ \ \ \Longrightarrow$

$f^{-1}(\mathbb{R_{+}})=\Big([-2,+\infty)~\cap~(-\infty,-1]\Big)~\cup~\Big(\mathbb{R}~\cap~(-1,1]\Big)~\cup~\Big(\mathbb{R}~\cap~(1,+\infty)\Big)\ \ \ \Longrightarrow$

$f^{-1}(\mathbb{R_{+}})=[-2,-1]~\cup~(-1,1]~\cup~(1,+\infty)\ \ \ \Longrightarrow$

$f^{-1}(\mathbb{R_{+}})=[-2,+\infty)$

Um grande abraço!