Uma prova de concurso é composta por 8 questões de matemática, cada uma com 4 alternativas. Quantos alunos, no mínimo, devem entregar a prova para se ter certeza da existência de duas provas com partes de matemática igual?
Soluções para a tarefa
Resposta:
Pelo menos 65 537 alunos.
Explicação passo-a-passo:
Devemos, primeiramente, calcular quantas são as possibilidades de gabarito.
Note que temos 8 questões e para cada uma delas temos 4 alternativas de resposta. Então podemos escolher uma entre os 4 itens da primeira questão e uma das quatro respostas da segunda questão e uma entre as quatro alternativas da terceira questão... assim por diante até a oitava questão.
Observe a presença da conjunção e, isso faz com que o princípio utilizado seja o princípio multiplicativo, que o próprio nome já diz: devemos realizar multiplicações para o cálculo das combinações possíveis. Isto é,
1.(4 possibilidades)
2.(4 possibilidades)
3.(4 possibilidades)
4.(4 possibilidades)
5.(4 possibilidades) ∴ Re: 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4⁸ = 65 536
6.(4 possibilidades)
7.(4 possibilidades)
8.(4 possibilidades)
Como temos 65 536 possibilidades de gabarito, ou seja, teremos 65 536 provas de matemática distintas.
Neste caso, quando o 65 537° aluno entregar sua prova, existirá pelo menos uma prova de matemática igual a dele.
OBS.: (IMPORTANTÍSSIMA)
Note que, pela maneira como a questão foi proposta, a resposta mais adequada seria: o número mínimo de alunos são 2.
Isso ocorre porque dois alunos podem muito bem marcarem o mesmo gabarito e, com isso, existirão duas partes iguais.