Question

Uma projétil é lançado do solo para o ar. Quando o projétil estiver a uma altura de 10, 2m, sua velocidade
é ~v = (8, 3ˆi + 4, 5ˆj)m/s.
(a) Em termos dos vetores unitários ˆi e ˆj. Determine o vetor velocidade inicial do projétil.
(b) Que Ângulo o vetor velocidade inicial faz com o eixo x ?
(c) Qual altura m´axima o projétil atingirá?
(d) Determine o tempo e a distância horizontal do projétil quando estiver na altura y = 10, 2m pela primeira
vez.
Obs: considere g = 10m/s2
.

Answer 1

O resultados dos itens são:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\vec{v}_0 &= (8{,}3 \hat{\imath} + 14{,}97\hat{\jmath})\text{ m/s}\\ \\\theta &= 61^\circ\\ \\h &= 11{,}21\hat{\jmath}\text{ m}\\ \\S_h &= 8{,}715\hat{\imath}\text{ m}\\ \\\end{aligned}$

a)

Para descobrir a velocidade inicial do projétil, temos que descobrir somente a velocidade inicial em j, pois em î ela é sempre constante, para isso temos a aceleração da gravidade atuando em j, portanto podemos achar a velocidade  através da equação de Torricelli:

                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}v^2 &= v_0^2 + 2a\Delta S \\ \\ (4{,}5\hat{\jmath})^2 &= v_0^2 + 2(-10\hat{\jmath})(10{,}2) \\ \\20{,}25\hat{\imath} &=v_0^2 - 204\hat{\jmath} \\ \\v_0^2 &= 204\hat{\jmath} + 20{,}25\hat{\jmath} \\ \\v_0^2 &= 224{,}25\hat{\jmath}\\ \\\vec{v}_0 &= (8{,}3 \hat{\imath} + 14{,}97\hat{\jmath})\text{ m/s}\end{aligned}$

b)

Para descobrir o ângulo que a velocidade faz com o eixo x basta fazer o arcotangente entre as componentes i e j, ou seja:

                                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\theta &= \arctan\left(\frac{v_\hat{\jmath}}{v_\hat{\imath}}\right)\\ \\\theta &= \arctan\left(\frac{14{,}97}{8{,}3}\right)\\ \\\theta &= 61^\circ \end{aligned} }$

c)

Utilizando novamente a equação de Torricelli para o eixo j, podemos descobrir a altura máxima do projétil, porém agora temos que colocar a velocidade final como 0, logo:

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}v_0^2 &+ 2a\Delta S = 0 \\ \\\Delta S &= -\frac{v_0^2}{2a}\\ \\h &= -\frac{v_0^2}{2g}\\ \\h &= -\frac{(14{,}97\hat{\jmath})^2}{2(-10\hat{\jmath})}\\ \\h &= -\frac{(14{,}97\hat{\jmath})^2}{2(-10\hat{\jmath})}\\ \\h &= \frac{(14{,}97\hat{\jmath})^2}{20\hat{\jmath}}\\ \\h &= \frac{(14{,}97\hat{\jmath})^2}{20\hat{\jmath}}\\ \\h &= 11{,}21\hat{\jmath}\text{ m}\end{aligned} }$

d)

Para achar o tempo que o projétil leva ao estar em uma determinada altura temos que resolver a equação:

                       $\Large\displaystyle\begin{aligned}-\Delta S + v_0 t - \frac{gt^2}{2} &= 0\\ \\-10{,}2\hat{\jmath} + 14{,}97t -5t^2 &= 0\\ \\\end{aligned}$

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}t_1 = 1{,}05\text{ s} \\ t_2 =1{,}945 \text{ s} \Rightarrow \text{ solu\c c\~ao descartada}\\\end{cases}\end{aligned}$

Agora basta substituir na equação de posição para aceleração nula:

                                   $\Large\displaystyle\begin{aligned}S_h &= S_0 + vt\\ \\S_h &= (8{,}3\hat{\imath})(1{,}05)\\ \\S_h &= (8{,}3\hat{\imath})(1{,}05)\\ \\S_h &=8{,}715\hat{\imath}\text{ m}\end{aligned}$

Pronto!

Espero ter ajudado

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