Question

uma progressão geométrica decrescente tem a soma dos três primeiros termos igual a 84 e o produto desses três termos é 4.096, então sendo x, y e z respectivamente os três primeiros termos da P.G., o valor de x+2y-10z é igual a:

Answer 1

Seja x,y,z a Progressão Geométrica. Como a PG é decrescente, então x > y > z.

Como a soma dos termos da PG é igual a 84, então:

x + y + z = 84

e o produto dos termos é igual a 4096: xyz = 4096.

Das propriedades de PG, temos que:

$\frac{y}{x} =\frac{z}{y}$

y² = xz

Substituindo em xyz = 4096:

y³ = 4096

y = 16

Assim,

xz = 256

$x = \frac{256}{z}$

Substituindo o valor de x e de y em x + y + z = 84:

$\frac{256}{z} + 16 + z = 84$

z² - 68z + 256 = 0

Utilizando a fórmula de Bháskara:

Δ = (-68)² - 4.1.256

Δ = 4624 - 1024

Δ = 3600

$z = \frac{68+-\sqrt{3600}}{2}$

$z = \frac{68+-60}{2}$

$z' = \frac{68+60}{2} = 64$

$z" = \frac{68-60}{2} = 4$

Como x > y > z, então z = 4. Por consequência, x = 64.

Portanto, x + 2y - 10z = 64 + 2.16 - 10.4 = 64 + 32 - 40 = 56.