Question

Uma progressão aritmética possui 50 termos, de maneira que a soma do décimo terceiro termo com o trigésimo oitavo termo é igual a 60. A som dos termos dessa progressão vale?

Answer 1

Faremos um esquema para entender o que está acontecendo. 

1º  .....   13º  ....    38º  ....    50º

Sabemos que:

$a_{38} + a_{13} = 60$

E que a soma dos termos de uma progressão aritmética é: $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}).n}{2}$, que no nosso caso ficará:

$S_{50} = \frac{(a_{1} + a_{50}).50}{2} = 25.(a_{1}+a_{50})$

A pergunta que fica é: quem são os dois termos, inicial e final?

Como o enunciado não nos forneceu o valor da razão, isso fica um pouco difícil e teremos que apelar para outro caminho. O que vale ressaltar é que não necessariamente precisamos saber quem é o primeiro e quem é o último. Apenas precisamos saber o valor da soma deles. Isso tem que ficar claro!

Mas como encontraremos essa soma? Repare que ele falou sobre a soma do termo de posição 13 com o de posição 38, então talvez algo esteja relacionado.

Quero lhe motivar a ver algo antes de prosseguirmos. Para isso, vou evitar números para que não pense que isso é algo particular, então vou colocar de forma genérica usando letras e índices que irão indicar a posição dos termos. Considere a seguinte progressão aritmética cuja razão é R:

$(a_{n} ; a_{n+1} ; a_{n+2} ; a_{n+3} ; a_{n+4} ; a_{n+5})$

Ou seja, isso é um trecho de uma progressão, onde o primeiro termo não necessariamente é o $a_{1}$. Temos 6 termos. Vamos ver quanto é a soma do primeiro com o último:

$a_{n} + a_{n+5} = a_{n} + a_{n} + 5R = 2a_{n} + 5R$

Para encontrar o termo $a_{n+5}$ eu usei a forma do termo geral que é: $a_{n} = a_{1} + (n - 1)R$.

Entendido isso, vamos ver quando é a soma do segundo com o penúltimo termo:

$a_{n+1} + a_{n+4} = a_{n} + R + a_{n} + 4R = 2a_{n} + 5R$

Não será difícil perceber que o terceiro termo somado com o quarto, tem que dar o mesmo valor como soma. Provando:

$a_{n+2} + a_{n+3} = a_{n} + 2R + a_{n} + 3R = 2a_{n} + 5R$

Já consegui lhe motivar bastante dizendo que a soma de pares "específicos" tem o mesmo valor. Mas que pares "específicos" são esses? Basta somar pares que são equidistantes (em que os termos têm a mesma distância) em relação a um centro. Dos 50 termos, vemos que não há um valor no meio, mas sim, dois valores que são os termos 25º e 26º, ou seja:

1º .... 13º ...... 25º 26º ....... 38º .... 50º

Repare que a distância do 26º para o 38º é a mesma do 25º para o 13º. E que a distância do 25º ao 1º é a mesma do 26º ao 50º. Acima, vimos que as somas dos números (pares) equidistantes são iguais, ou seja:

$a_{25} + a_{26} = a_{13} + a_{38} = a_{1} + a_{50}$

E como sabemos que $a_{13} + a_{38} = 60$, concluímos que a soma do primeiro com o último termo também tem que ser 60, que era o que faltava na nossa expressão para a soma. Então:

$S_{50} = 25(a_{1} + a_{50}) = 25 . 60 = 1500.$

Logo, a soma dos 50 termos é 1500.

Espero ter ajudado.
Bons estudos!