Question

Uma progressão aritmética (P.A) crescente, o segundo, o quarto e o nono termo, nessa ordem, formam uma progressão geométrica (P.G) de três termos. Se o quarto termo de P.A é igual a 10 determine a razão de P.G..

Answer 1

Utilizando definições de Progressão Aritmetica e Geometrica, temos que a razão desta P.G. é de 2,5.

Explicação passo-a-passo:

Vamos supor que esta PA tem razão R e a PG tem razão Q, assim a P.A. em ordem seria:

P.A. = (10-3R ; 10-2R ; 10-R ; 10 ; 10+R ; 10+2R ; ...)

Pois sabemos que o quarto termo é 10.

Como sabemos que o segundo e o quarto temor formam uma progressão Geometrica, então sabemos que:

(10-2R).Q = 10

E como o quarto com o nono temor também forma, então:

10.Q = (10+5R)

Logo temos duas equações para Q:

$Q=\frac{10}{10-2R}$

$Q=\frac{10+5R}{10}$

Igualando estas duas:

$\frac{10+5R}{10}=\frac{10}{10-2R}$

Multiplicando cruzado:

$\frac{10+5R}{10}=\frac{10}{10-2R}$

$(10+5R)(10-2R)=100$

$100-10R^2+30R=100$

$10R^2-30R=0$

Dividindo tudo por 10:

$R^2-3R=0$

Fatorando este polinomio:

$R(R-3)=0$

Assim existem duas soluções para R, R=0 e R=3, assim temos que a razão desta P.A. é 3, então podemos descobrir a razão da PG:

$Q=\frac{10}{10-2R}$

$Q=\frac{10}{10-2.3}$

$Q=\frac{10}{10-6}$

$Q=\frac{10}{4}$

$Q=2,5$

Assim temos que a razão desta P.G. é de 2,5.