Question

uma professora entregou para cada aluno um pedaço de arame com 12cm (de comprimento) para fazer o entorno de um retângulo. joazinho deseja construir o retângulo com a maior área possível. qual deve ser o comprimento dos lados desse retângulo?

Answer 1

P = 2x + 2y = 12 => x + y = 6 => y = 6 - x
A = xy => A(x) = x( 6 - x) => A(x) = -x² + 6x
xv = -b/2a
xv = -6/2(-1)
xv = 6/2
xv = 3 cm
y = 6 - 3 
y = 3 cm

O retângulo é um quadrado de lado 3cm.

Answer 2

$Ola'~~~~\mathbb{RHAMIR} \\ \\ Vamos~ilustrar~fazendo~um~retangulo~veja: \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~y\boxed{\Bigg|~~~~~~~~~~~~~~~~\Bigg|}~~~--\ \textgreater \ \boxed{A=y.x }~--\ \textgreater \ area \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x \\ \\ O~per\acute{i}metro~e':~~ \boxed{P=2x+2y}~~--\ \textgreater \ sabemos~que~o~P=12cm \\ substituindo~temos: \\ 12cm=2x+2y~~--\ \textgreater \ simplificando~fica \\ \\ 6cm=x+y~~--\ \textgreater \ isolamos~(y)~temos$

$\boxed{y=6-x }~---\ \textgreater \ (I) \\ \\ Agora~(I)~substituiremos~na~ \acute{a}rea~veja \\ \\ A=x.y \\ \\ A=x(6-x) \\ \\ A=6x-x\²~~--\ \textgreater \ derivando~seria: \\ \\ A'=6-2x~~--\ \textgreater \ fazendo~A'=0~~, temos \\ \\ 0=6-2x \\ \\ 2x=6$

$x= \frac{6}{2} \\ \\ \boxed{x=3cm} \\ \\ Agora~para ~descobrir~o~valor~de~(y)~substituiremos~em~(I)~, veja. \\ \\ y=6-x \\ \\ y=6-3 \\ \\ \boxed{y=3cm} \\ \\ Agora~para~provar~o maior~\acute{a}rea~possivel~fazemos~uma~tabela~veja:$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c}x&y=6-x&A=x.y \\ \cline{1-3}1&5&A=5 cm^{2} \\ \cline{1-3}2&4&A=8cm^{2} \\ \cline{1-3}3&3&A=9cm^{2} \\ \cline{1-3}4&2&A=8cm^{2} \\ \cline{1-3}5&1&A=5cm^{2} \\ \cline{1-3} \end{tabular} ~~==\ \textgreater \ Observe~que~a~maior~A=9cm ^{2} \\ \\ como~ observamos~a~ tabela~dando~valores~aleatoriamente~a(x), \\ obtivemos~muitos~valores~no~qual~so'~tem~um~\acute{u}nico~\acute{a}rea~possivel \\ que~e'~\boxed{A=9cm\²} \\ \\ Ent\~ao~o ~comprimento~dos~lados~seram~[x=3cm~~e~~y=3cm]$

$O~ret\acute{a}ngulo~e'~um~quadrado~com~cumprimento~de~lados \\ \\ ~~~~~~~~~~\begin{cases}x=3cm \\ \\ y=3cm\end{cases} \\ \\ ~\mathbb{ttttttttttttttttttttttttttttttttttt}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Espero~ter~ajudado!!$