Question

Uma produtora de cestas de Natal cobra R$ 80,00 por unidade e costuma vender mensalmente um total de 100 cestas. Após contratar um analista, percebeu-se que, a cada aumento de R$ 4,00 no valor da cesta, uma unidade a menos era vendida. A empresa resolveu utilizar esses dados para maximizar seu lucro, independentemente do número de cestas que fosse vendido. O preço da cesta que tornará o lucro da empresa máximo, em reais, é a) 27,50. b) 40,00. C) 240,00. d) 107,50. e) 60,oo.

Answer 1

Olá!

Temos o seguinte cenário:

R$80,00 * 100 = R$8.000,00

Com o aumento de R$4,00 diminui-se 1 unidade na quantidade vendida, então a proporção é de 1 para 1/4. Dessa forma podemos escrever a equação da seguinte maneira:

(80+x) * (100-(x/4))

8000 - 20x + 100x - x²/4
- x²/4 + 80x + 8000

a = -1/4
b = 80
c = 8000

Para determinar o ponto mais alto da parábola (vértice), temos que encontrar o seguinte ponto na equação:

(x,y) = $\frac{-b}{2a}$ , -Δ/(4.a)

Para isso, precisamos encontrar Δ

Δ = b² - 4.a.c
Δ = 80² - 4.-1/4.8000
Δ = 6400 + 8000
Δ = 14.400

Com o valor de Δ podemos calcular o ponto (x,y)

(x,y) = $\frac{-b}{2a}$ , -Δ/(4.a)
(x,y) = $\frac{-80}{2.-1/4}$ , $\frac{-14.400}{4.-1/4}$
(x,y) = $\frac{80}{1/2}$ , $\frac{14.400}{1}$
(x,y) = 160 , 14.400

Encontramos o valor de x=160. Substituindo na equação:

- x²/4 + 80x + 8000
- 160²/4 + 80.160 + 8000
-6.400 + 12.800 + 8000 = 14.400

Agora voltamos para a primeira equação determinar o preço ideal:

(80+x) * (100-(x/4))
(80+160)*(100-(160/4))
(240)*(100-40)
240*60
14.400

Logo, Preço = R$80,00 + R$160,00 = R$240,00 opção (c)