Question

Uma população de insetos, que vem sendo combatida ao longo dos anos, decresce de acordo com a função P(t)=4000.2^-t. A alternativa que revela em quantos anos essa população será reduzida para 1/32 da popul.

bom ele quer saber em quanto tempo a população vai valer 1/32 da atual, 4000, logo a população final será 125, para acharmos o tempo basta termos uma boa base em manipulação algébrica, então vamos lá:
A PERGUNTA É COMO FAÇO PRA CHEGA NO 125 ?

Answer 1

Vamos lá...

P(t) = 4000 ·2⁻ⁿ  (-n é o tempo) 

quando a população tiver com 1 32 avos (1/32) da inicial, teremos 125 insetos. Veja como chegar a esse valo:
Se fosse 1/2 da população inicial teríamos 2.000 porque é a metade de 4.000, mas nesse caso é 1/32 de 4.000 então é só multiplicar...
$4.000* \frac{1}{32}$
$\frac{4.000}{32}=125$

Agora vamos para o tempo.

A função é P(t) = 4.000 ·2⁻ⁿ
P(t) é 125

125=4.000·2⁻ⁿ
2⁻ⁿ= 125/4.000

Simplificamos....
2⁻ⁿ = 1/32 
2ⁿ=32 ( Obs: quando o expoente é negativo, podemos inverter) 

Fatorando o 32, fica 2⁵.
2ⁿ = 2⁵
n=5

O tempo é 5 anos