Question

Uma polia indicada na figura abaixo possui raio 0,160 m e momento de inércia de 0,560 kg · m^2. A corda não desliza sobre a periferia da polia. Use métodos de conservação da energia para calcular a velocidade do bloco de 4,0 kg no momento em que ele atinge o solo.

Imagem no anexo

Gabarito: $v=2,65\ m/s$

Answer 1

Resposta:

v = 2,75 m/s

Explicação:

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• Essa tarefa é sobre energia.

• Energia é algo que não pode ser criado nem destruído, apenas transformado. Em outras palavras, energia é uma grandeza cujo valor sempre se mantém constante na ausência de atrito ou resistência do ar.

Sem mais delongas vamos a solução!

Solução:

Dados:

$R = 0,\!160\,m\\\\I=0,\!560\,kg\cdot m^2\\\\m_1=4,\!00\,kg\\\\m_2=2,\!00\,kg\\\\h=5,\!00 \,m\\\\g=9,\!8\,m/s^2$

O princípio da conservação da energia diz que o valor da energia mecânica no sistema não se altera, isto é:

$E_{m_{i}}=E_{m_{f}}$

Por definição, a energia mecânica é a soma da energias potencial gravitacional e cinética:

$E_p_{g_i}+E_{c_i}=E_p_{g_f}+E_{c_f}$

No começo do movimento, a energia cinética do sistema é nula, logo:

$E_p_{g_i}+0=E_p_{g_f}+E_{c_f}$

$E_p_{g_i}=E_p_{g_f}+E_{c_f}$

Ao final do movimento, a energia potencial gravitacional do bloco maior terá sido inteiramente convertida em energia potencial gravitacional do bloco menor mais a energia cinética do bloco maior e a energia cinética de rotação da polia:

$m_1\cdot g \cdot h =m_2\cdot g \cdot h +\dfrac{m_1\cdot v^2}{2}+\dfrac{I\cdot \omega^2}{2}$

Lembre-se que a velocidade angular da polia se relaciona com a velocidade linear do sistema assim:

$v=\omega \cdot R\\\\\omega=\dfrac{v}{R}$

Substituindo na equação acima, obtemos:

$m_1\cdot g \cdot h =m_2\cdot g \cdot h +\dfrac{m_1\cdot v^2}{2}+\dfrac{I\cdot \bigg(\dfrac{v}{R}\bigg)^2}{2}$

Simplificando, obtemos:

$m_1\cdot g \cdot h =m_2\cdot g \cdot h +\dfrac{m_1\cdot v^2}{2}+\dfrac{I\cdot v^2}{2R^2}$

$m_1\cdot g \cdot h -m_2\cdot g \cdot h =\dfrac{m_1\cdot v^2}{2}+\dfrac{I\cdot v^2}{2R^2}$

$2\cdot g \cdot h \cdot (m_1-m_2) =m_1\cdot v^2+\dfrac{I\cdot v^2}{R^2}$

$2\cdot g \cdot h \cdot (m_1-m_2) = v^2\cdot \bigg (m_1+\dfrac{I}{R^2}\bigg)$

$v^2=\dfrac{2\cdot g \cdot h \cdot (m_1-m_2)}{\bigg (m_1+\dfrac{I}{R^2}\bigg)}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot g \cdot h \cdot (m_1-m_2)}{\bigg (m_1+\dfrac{I}{R^2}\bigg)}}$

Substituindo os valores do enunciado, vem:

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot (9,\!8) \cdot 5 \cdot (4,\!00-2,\!00)}{\bigg (4,\!00+\dfrac{0,\!560}{(0,\!160)^2}\bigg)}}$

$\therefore \boxed{v=2,\!75\,m/s}$

Conclusão: a velocidade do bloco de 4,0 kg no momento em que ele atinge o chão é 2,75 m/s.

Bons estudos!

Equipe Brainly