Question

Uma planta levou, segundo as observações de Ana, 30 dias para cobrir toda a superficie de um lago. Ana notou também que a superfície total coberta pela planta, ao final de cada dia, era sempre o dobro da superfície total coberta pela planta ao final do dia anterior. Quantos dias se passaram, a partir do inicio das observações de Ana, para que 1/4 da superficie do lago ficasse coberta pela planta?

Answer 1

=> Intuitivamente sabemos que se a ocupação duplica a cada dia, então: 

....ela ocupará 50% da área ...no dia anterior á ocupação da totalidade da área 

...ela ocupará 50% de 50% da área (ou seja 25%) ...no 2º dia anterior á ocupação da totalidade da área.
 
Explicar isso sob a forma de conceito matemático ...é que é um pouco mais complicado ...vamos lá a isso:

Estamos perante uma PG de razão = 2 

o seu termo geral será: 

an = a1 . q^(n-1) 

onde 

an = (superfície total do tanque) = “X” 
a1 = a determinar 
n = 30   

assim o termo geral será: 

X = a1 . 2^(30-1) 

X = a1 . 2^(29) 

X/(2^29) = a1 <--- primeiro termo da Progressão   

..Voltando ao conceito de Termo geral   vamos calcular agora o valor (dias) para o qual an = X/4 ....ou seja em que esteja ocupada 25% da superfície do tanque ..ou 1/4 do tanque

Assim:   

an = a1 . q^(n-1)   

como 
an = X/4 
r = 2 
a1 = X/(2^29)   

então teremos

X/4 = X/(2^29) . 2^(n-1) 

(X/4)/(X/(2^29) = 2^(n-1) 

(X/4).(2^29/X) = 2^(n-1) 

(2^29/4) = 2^(n-1) 

(2^29/2^2) = 2^(n-1) 

(2^27) = 2^(n-1) 

temos bases iguais …logo 

  27 = n – 1 

  27 + 1 = n 

28 = n <--número de dias em que está ocupada 25% da superfície do tanque


Espero ter ajudado