Question

Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero.Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a:

R: 2/9.

Answer 1

Tentei postar a figura, mas não consegui desenhá-la! [risos] Tomemos o quadrado obtido como uma secção, onde a pirâmide foi dividida em duas: irei chamá-las de pirâmide 'superior' e pirâmide 'total', bem como os triângulos.
- a altura do triângulo (h) corresponde ao apótema da pirâmide; 
$l^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+h^2\Rightarrow1=\frac{1}{4}+h^2\Rightarrow\boxed{h=\frac{\sqrt{3}}{2}}$
 Isto é, o apótema do triângulo total vale $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Aplicando o conceito de baricentro - intersecção das três medianas - podemos encontrar o apótema do triângulo superior (h').
$h'=\frac{2}{3}\cdot h\Rightarrow h'=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{2}}{3}\Rightarrow \boxed{h'=\frac{\sqrt{3}}{3}}$ 
  Podemos encontrar a altura da pirâmide (H) aplicando o Teorema de Pitágoras. Onde a hipotenusa é o apótema do triângulo e um dos catetos vale a metade do seu lado.
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2+H^2\Rightarrow\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+H^2\Rightarrow\boxed{H=\frac{\sqrt{2}}{2}}$

 Aplicando semelhança de triângulos encontramos a altura do triângulo superior, veja:
$\frac{h'}{h}=\frac{H'}{H}\Rightarrow\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =\frac{H'}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow\boxed{H'=\frac{\sqrt{2}}{3}}$

 Temos o que precisávamos para encontrar a área do novo quadrado: apótema e altura do triângulo superior a outra medida é uma projeção que vale metade da diagonal do referido quadrado.
$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2\Rightarrow\frac{3}{9}=\frac{d^2}{4}+\frac{2}{9}\Rightarrow\frac{d^2}{4}=\frac{1}{9}\Rightarrow\boxed{d=\frac{2}{3}}$
 Encontremos o lado,
$d=l'\sqrt{2}\Rightarrow\frac{2}{3}=l'\sqrt{2}\Rightarrow\boxed{l'=\frac{2}{3\sqrt{2}}}$

 Logo,
$S=l^2\\\\S=\frac{2}{3\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{3\sqrt{2}}\\\\S=\frac{4}{9\cdot2}\\\\\boxed{\boxed{\boxed{S=\frac{2}{9}}}}$