Question

Uma pirâmide tem a soma dos ângulos internos das faces igual a 7.200o. Ao seccioná-la por um plano paralelo à base passando pelos pontos médios das arestas laterais, o sólido resultante da retirada da pirâmide menor tem o número de diagonais igual a:

para amanhã pls

Answer 1

Utilizando formulações de geometria plana, solida e analise combinatória,  temos que este solido possui 327 diagonais.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente temos que descobrir qual a base desta piramide.

Sabemos que toda piramide tem laterais triangulares, uma triangulo para cada aresta da base, e como todo triangulo tem a soma do angulos internos de 180º, então uma base com n lados, a soma dos angulos das laterais desta triangulo seria n.180.

Nós não sabemos quanto vale n, porém sabemos que a soma dos angulos da base do triangulo pode ser escrita pela formula:

$S_i=180.(n-2)$

Somando esta soma de angulos internos com a das laterais:

$S=180.(n-2)+180.n$

E agora temos a formula geral da soma dos angulos de desta piramide, e já sabemos quanto essa soma é:

$S=180.(n-2)+180.n=7200$

$180.n-360+180.n=7200$

$360.n-360=7200$

$360.n=7560$

$n=\frac{7560}{360}$

$n=21$

Assim a base desta piramidade é um poligono de 21 lados.

Quando passar uma plano paralelo a base, faremos um tronco de piramidade que tem 21 vertices em cima e 21 vertices em baixo.

Nós agora queremos saber o número de diagonais, basta parar pra pensar que uma diagonal é um grupo de dois vertices distintos, ou seja, basta fazermos um combinação de 2 vertices dentre os 42 vertices totais da piramide e depois retirarmos o número de arestas que também são combinações de dois vertices:

$C_{2,42}=\frac{42!}{2!40!}=\frac{40.41}{2}=20.41=810$

Assim temos 810 combinações, mas ao todo este tronco de piramide tem 63 arestas (21 da base, 21 do topo e 21 das laterais), então retirando estas arestas sobram somente as diagonais:

810 - 63 = 747

Mas ainda precisamos retirar deste número as diagonais das laterais, como cada lateral de um tronco de piramide é uma quadrilatero, todos eles tem 2 diagonais, e como são 21 laterais, então são 42 para retirar:

747 - 42 = 705

E agora só falta retirar a diagonais da base e do teto, nest caso basta usar a formula de diagonais de um poligono de 21 lados:

$d=\frac{n.(n-3)}{2}=\frac{21.18}{2}=9.21=189$

Assim tanto a base quanto o teto tem 189 diagonais, retirando estas diagonais também:

705 - 189 - 189 = 327

Assim temos que este solido possui 327 diagonais.