Question

uma piramide regular quadrangular possui aresta lateral igual 8 cm e aresta base igual 6 cm. Calcule a area lateral e a area total.


um cilindro equilatero tem 4cm de altura. calcule sua area lateral (Al)



em um cone circular reto, de altura 12 cm, o raio da base mede 5cm. Calcule: a) a area lateral; b)a area base ec) a area total o volume

Answer 1

1. A pirâmide:
Se a pirâmide é quadrangular, significa que sua base é quadrada, com lados iguais a 6 cm, e suas faces laterais são triângulos isósceles, cujos lados medem 8 cm e cuja base é igual ao lado do quadrado (6 cm).
A área lateral é igual à soma das áreas dos 4 triângulos isósceles. A área de cada um destes triângulos é igual a:
A = b × h ÷ 2 (1)
Como conhecemos apenas a base e os lados destes triângulos, precisamos conhecer a sua altura. Para isto, vamos considerar o segmento que une o vértice destes triângulos ao ponto médio da base, que é a sua altura (h). Como este segmento (h) é um cateto de um triângulo retângulo onde a hipotenusa é o lado do triângulo isósceles (8 cm) e o outro cateto é igual à metade da base (6 cm ÷ 2), aplicando a estas medidas o teorema de Pitágoras, obteremos o valor da altura:
h² = 8² - 3²
h² = 64 - 9
h² = 55
h = √55
h = 7,42 cm
Substituindo o valor encontrado para h em (1), obtemos a área de uma das faces laterais da pirâmide:
A = 6 × 7,42 ÷ 2
A = 22,26
Como são 4 as faces laterais da pirâmide, a sua área lateral (A l)será igual a:
Al = 4 × 22,26 = 89,04 cm², área lateral da pirâmide

A área total da pirâmide é igual à soma desta área lateral com a área da base (Ab). Como a base é um quadrado de lado igual a 6 cm, sua área é igual a
Ab = 6 × 6 = 36 cm²

Assim, a área total da pirâmide (At) é igual a 
At = Al + Ab
At = 89,04 + 36
At = 125,04 cm², área total da pirâmide

2. Cilindro
Um cilindro é equilátero, quando a sua altura é igual ao seu diâmetro.
A sua área lateral (Al) é igual à área de um retângulo, no qual os lados são a altura do cilindro (h) e o comprimento da circunferência (c) que corresponde à sua base:
Al = h × c (2)
O comprimento da circunferência da base (c) é igual ao produto de seu diâmetro por π:
c = d × π
c = 4 × 3,14
c = 12,56 cm
Substituindo os valores em (2):
Al = 4 × 12,56
Al = 50,24 cm², área lateral do cilindro

3. Cone
a) Área lateral
A área lateral de um cone é a área de um setor circular, cujo raio é a geratriz do cone e cujo comprimento do arco é igual ao comprimento da circunferência da sua base.
Precisamos, então, em primeiro lugar calcular o comprimento da geratriz (g) do cone, que é a hipotenusa de um triângulo retângulo no qual os catetos são a altura (h) e o raio da base do cone (r). Aplicando-se o teorema de Pitágoras:
g² = h² + r²
g² = 12² + 5²
g² = 144 + 25
g = √169
g = 13 cm, raio do setor circular que fornecerá a área lateral do cone.

O comprimento do arco do setor circular (ca) é o comprimento da circunferência da base:
ca = 2 × π × r
ca = 6,28 × 5
ca = 31,4 cm

Para calcularmos a área do setor circular (As), vamos fazer uma regra de três com a área de um círculo de raio igual à geratriz do cone (13 cm), pois as áreas serão proporcionais aos comprimentos dos arcos.
A área do círculo (Ac) cujo raio é g, é igual a
Ac = π × g²
Ac = 3,14 × 13²
Ac = 530,66 cm²
O comprimento da circunferência (cc) que tem esta área á igual a
cc = 2 × π × 13 = 81,64 cm
Então, a área do setor circular estará para a área do círculo (Ac), assim como o comprimento do arco do setor circular (ca) estará para o comprimento da circunferência que corresponde ao círculo (cc):
As/Ac = ca/cc
As/530,66 = 31,4/81,64
As = 530,66 × 31,4 ÷ 81,64
As = 204,1 cm², área lateral do cone

b) A área da base (Ab), é a área de um círculo de raio igual a 5 cm, e que é dada pelo produto de π pelo quadrado do raio (r):
Ab = π × r²
Ab = 3,14 × 5²
Ab = 78,50 cm², área da base

c) A área total (At) é igual à soma da área lateral (As) com a área da base (Ab):

At = 204,10 + 78,50
At = 282,60 cm², área total do cone

d) O volume do cone (V) é igual a um terço do produto de sua base pela altura:

V = Ab × h
V = 78,50 cm × 12 cm ÷ 3 cm
V = 314 cm³, volume do cone