Question

uma piramide regular hexagonal tem aresta lateral de medida 4 raiz de 2 dm.se o perimetro da base tem 24dm. qual seu volume

Answer 1

Vamos pensar aqui... O volume de uma pirâmide é 1/3 da área da base vezes a altura. 
Então vamos primeiro determinar a área da base. A base é formada por um hexágono regular, vou nomear todos os lados de x. O perímetro da base é a soma de todos os lados, então
P=6x
24=6x
x=24/6
x=4
O lado do hexágono mede 4.
Um hexágono é composto por 6 triângulos, no caso, são todos iguais, porque o hexágono é regular. Se acharmos a área de 1 triângulo é só multiplicar por 6 e teremos a área do hexágono. 
Ta. Vamos pensar em um triângulo em que todos os lados medem 4. Se traçarmos uma reta do vértice até o lado oposto, teremos a altura do triângulo, e essa será perpendicular ao lado. Okay, aí temos outro triângulo, e dessa vez ele é retângulo. A hipotenusa mede 4, a base mede 2 e a altura (h) vamos achar pelo teorema de pitágoras.
h^2+2^2=4^2
h^2=16-4
h^2=12
h=2 raíz de 3.
A área do triângulo é dada por A=b.h/2
Então a área do hexágono vai ser:
A=6.b.h/2
A=6.4.2 raíz de 3/2
A=24 raíz de 3
Agora precisamos achar a altura da pirâmide. Mas antes de achar a altura da pirâmide devemos achar a altura da face da pirâmide. A altura da face(af) é a dada por uma reta que sai do vértice da pirâmide até a base da face da pirâmide, formando outro triângulo retângulo. Aí é só aplicar Pitágoras de novo. Então ficou:
af^2+2^2=(4 raíz de 2)^2
af^2+4=16.2
af^2=32-4
af^2=28
af=2 raíz de 7
Agora podemos achar a altura da pirâmide. A altura da pirâmide com a altura da face e com a altura de um dos triângulos da base forma um triângulo retângulo. É só fazer pitágoras novamente:
hp^2+ (2 raíz de3)^2=(2 raíz de 7)^2
hp^2+4.3=4.7
hp^2+12=28
hp^2=28-12
hp^2=16
hp=4
Então agora é só fazer 1/3 da área da base vezes a altura e teremos o volume.
V=1/3.Ab.h
V=1/3.24 raíz de 3.4
V=96 raíz de 3/3
V=32 raíz de 3 dm^3
Bom, eu fiz as contas de cabeça, se todas essas estiverem certas o exercício está certo... É desse jeito que se resolve, pode ter outros meios mais fáceis, mas eu acho esse mais fácil, aliás não consigo pensar em outro jeito. É isso.
:)