Question

Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a x. Determine o volume da pirâmide em
função de x.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

V(pir) = Ab * H / 3

V(pir) ⇒ Volume da pirâmide;

Ab ⇒ Área da base;

H ⇒ Altura...

A base é um quadrado de aresta L = x/3. A sua área é :

Ab = Área do quadrado de lado L

Ab = L²

Ab = (x/3)²

Ab = x²/9 ⇒ Área da base da pirâmide...

As faces são triângulos equiláteros de lado L = x/3. A altura dessas faces (chamarei de hL, altura lateral) é :

hL = h(teq)

h(teq) = L * √3 / 2

h(teq) ⇒ Altura do triângulo equilátero;

L ⇒ Lado do triângulo equilátero...

hL = x/3 * √3 / 2

hL = x * √3 / 6 ⇒ Altura lateral da pirâmide !

Agora, do anexo, veja que o apótema da base (ap.B), a altura lateral hL e a altura da pirâmide H formam um triângulo retângulo.

Sendo a base um quadrado de lado L = x/3 , o apótema dela (ap.B) é dado por :

ap.B = L / 2

ap.B = (x/3) / 2

ap.B = x/6 ⇒ Apótema da base

Aplicando Pitágoras no triângulo H, hL, ap.B :

hL² = H² + ap.B²

Sendo ⇒ hL = x * √3 / 6 e ap.B = x/6 :

(x * √3 / 6)² = H² + (x/6)²

x² * 3 / 36 = H² + x² / 36

x² * 3 / 36 - x² / 36 = H²

H² = x² * 2 /36

H² = x² / 18

H = √(x² / 18)

H = √x² / √18 ⇒ Aqui descarta-se as combinações de raízes negativas !

H = x / √18 ⇒ Fatorando √18, chegamos em :

H = x / (3 * √2) ⇒ Racionalizando :

H = (x * √2) / (3 * √2 * √2)

H = √2 * x / (3 * 2)

H = √2 * x / 6 ⇒ Altura da pirâmide !

Logo, V(pir) = Ab * H / 3 ..

Sendo ⇒ Ab = x²/9 e H = √2 * x / 6 :

V(pir) = (x²/9) * (√2 * x / 6) / 3

V(pir) = (√2 * x³ / 162) ⇒ Volume dessa pirâmide !

Answer 2

O volume da pirâmide em função de x é $\frac{x^3\sqrt{2}}{6}$.

O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

Como a pirâmide é quadrangular e todas as arestas medem x, então a área da base equivale a área do quadrado, ou seja:

Ab = x².

Vamos determinar a altura dessa pirâmide. Para isso, considere a imagem abaixo.

O triângulo ABC é retângulo em B. O segmento BC vale metade da diagonal do quadrado:

$BC=\frac{x\sqrt{2}}{2}$.

Para encontrar a medida da altura, usaremos o Teorema de Pitágoras (a² = b² + c²). Dessa forma, obtemos:

$x^2=(\frac{x\sqrt{2}}{2})^2+AB^2\\x^2=\frac{2x^2}{4}+AB^2\\x^2=\frac{x^2}{2}+AB^2\\AB^2=x^2-\frac{x^2}{2}\\AB^2=\frac{x^2}{2}\\AB=\frac{x}{\sqrt{2}}$.

Portanto, o volume da pirâmide quadrangular é:

$V=\frac{1}{3}.x^2.\frac{x}{\sqrt{2}}\\V=\frac{x^3}{3\sqrt{2}}$.

Podemos racionalizar essa fração:

$V=\frac{x^3}{3\sqrt{2}}.\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{x^3.3\sqrt{2}}{18}=\frac{x^3\sqrt{2}}{6}$

Para mais informações sobre volume, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/14167484