Question

uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais,sendoa área da base igual a 16cm2.qual é a sua altura?

Answer 1

Seja $\text{a}$ a medida das arestas da pirâmide quadrangular regular em análise.

Conforme o enunciado, temos:

$\text{a}\cdot\text{a}=16 \ \text{cm}^2$

Donde, obtemos $\text{a}=4 \ \text{cm}$.

Logo, concluímos que a medida das arestas da pirâmide dada é igual a $4 \text{cm}$.

Segundo o enuciado, podemos afirmar que todas as arestas são iguais.

Desse modo, as faces triangulares da pirâmide são triângulos equiláteros, cujos lados medem $4 \ \text{cm}$.

Calculemos a altura de uma das faces triangulares, como segue:

A altura de um triângulo equilátero de lado $\text{l}$ é dada por $\text{h}=\dfrac{\text{l}\sqrt{3}}{2}$.

Contudo, a altura de uma das faces triangulares é $\text{h}_1=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \ \text{cm}$.

Tracemos o segmento $\text{b}$ com extremidades no vértice da pirâmide e no ponto médio da aresta da base.

É importante ressaltar que, $\text{b}$ é a altura de uma das faces laterais.

Analogamente, tracemos o segmento $\text{h}$ com extremidades no vértice da pirâmide e no centro da base.

Por inspeção, concluímos que $\text{h}$ é a altura da pirâmide quadrangular.

Por fim, tracemos o segmento $\text{c}$ com extremidades em $\text{b}$ e em $\text{h}$.

A medida de $\text{c}$ é dada por $\dfrac{\text{a}}{2}$, sendo $\text{a}$ a medida da aresta.

Assim, temos $\text{c}=\dfrac{4}{2}=2 \ \text{cm}$.

Desta maneira, obtemos um triângulo retângulo, com catetos $\text{h}$, $\text{c}$ e hipotenusa $\text{b}$.

Conforme o Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que $\text{b}^2=\text{h}^2+\text{c}^2$, donde $\text{h}=\sqrt{\text{b}^2-\text{c}^2}$.

Como $\text{b}=2\sqrt{3}~\wedge~\text{c}=2$, segue que:

$\text{h}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \ \text{cm}$

Logo, chegamos à conclusão de que a a altura da pirâmide dada é $2\sqrt{2} \ \text{cm}$.