Question

Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas congruentes com medida a. O seu volume é?

Answer 1

 Olá Jemerson, boa noite! O desenho não ficou bom... Sou péssimo com os desenhos.

O segmento OB é a metade da diagonal do quadrado;
O triângulo VOB é retângulo;
O volume é dado por: 1/3 . S_b . h.

 Com isso, temos que:

$\\ \mathsf{\overline{OB} = \frac{1}{2} \cdot d} \\\\ \mathsf{\overline{OB} = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2}}$ 

 Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo VOB:

$\\ \mathsf{\overline{VB}^2 = \overline{VO}^2 + \overline{OB}^2} \\\\\\ \mathsf{a^2 = h^2 + \left (\frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \right )^2} \\\\\\ \mathsf{h^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4}} \\\\\\ \mathsf{h^2 = \frac{2a^2}{4}} \\\\\\ \mathsf{h = \frac{a}{\sqrt{2}}}$


 Por fim,

$\\ \mathsf{V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h} \\\\\\ \mathsf{V = \frac{1}{3} \cdot (a \cdot a) \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{V = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}}}$