Question

Uma pirâmide hexagonal tem 16cm de aresta da base e 28 cm de aresta lateral. Determine:
a) Raio b) Apótema da Base c) Apótema da Pirâmide d) Altura e) Área da Base f) Área Lateral g) Área Total h) Volume

Answer 1

Olá!

Vamos a usar as seguintes letras para identificar as partes da piramide assim como o que estemos calculando:

a= aresta da base
h = apótema da base 
aL = aresta lateral 
ap = apótema da piramide 
H = altura da piramide 
Ab = área da base 
AL= área lateral 
At= área total 
V = volumen 

Então do enunciado temos que:

a = 16cm
aL = 28 cm

Vamos a començar calculando o  apótema da base, com a formula da aresta:

$a^{2} = h^{2}+ (\frac{a}{2}) ^{2}$

$16^{2} = h^{2}+ (\frac{16}{2}) ^{2}$

$256 = h^{2}+ 64$

$h^{2} = 256 - 64 h^{2} = 192 h = \sqrt{192} h = 13,86cm$


Agora para calcular a altura da piramide vamos a usar a formula da aresta lateral :

$aL^{2} = H^{2} + a^{2}$

$28^{2} = H^{2} + 16^{2} 784 = H^{2} + 256 H^{2} = 784 - 256 H = \sqrt{528} H= 22,98 cm$

Podese calcular o apotema da piramide:

$ap^{2} = h^{2} + H^{2} ap^{2} = (13,86)^{2} + (22,98)^{2} ap^{2} = 720,18 ap = \sqrt{720,18} ap = 26,84cm$


Para calcular a área da base da piramide hexagonal regular, só temos que achar a área de um triangulo da base, e como a base é hexagonal, é divida igualmente em 6 triangulos; e  depois temos que multiplicar essa area por 6.

$Ab = 6 * ( \frac{a * h}{2} )$

$Ab = 6 * (\frac{16 * 13,86}{2} )$

$Ab = 6 * 110,88 Ab = 665,28 cm^{2}$


Agora para calcular a área lateral, assim como na área da base, também temos  que multiplicar por 6.

$AL = 6 * ( \frac{a * ap}{2} )$

$AL = 6 * ( \frac{16 * 26,84}{2} )$

$AL = 6 * 214,72 AL = 1.288,32$


Assim a área total é a soma da área da base com a área lateral:

$At = Ab + AL At = 665,28 + 1.288,32 At = 1953,6 cm^2$


O volumen é dado pela formula:

$V = \frac{ab * 22,98}{3}$

$V = \frac{665,28cm^{2}  * 22,98 cm }{3}$

$V = 5.096,04 cm^{3}$