Question

Uma pirâmide de base hexagonal tem sua aresta da base medindo 8 cm.Considerando que a área da superfície lateral dessa pirâmide é igual a 10 vezes a medida da área da base,determine:a) a altura da pirâmide ;b) a área total ;c) o volume.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Alash, que a resolução parece simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que uma pirâmide hexagonal tem sua aresta da base medindo 8cm. Considerando que a área da superfície lateral dessa pirâmide é igual a 10 vezes a medida da área da base, determine: (a) a altura da pirâmide; (b) a área total da pirâmide; e (c) o volume da pirâmide.

ii) Veja que a área da base de uma pirâmide é dada pela área do polígono que forma essa base. E como a base é hexagonal, então a área da base dessa pirâmide será a mesma área de um hexágono (Ah), que é dada assim:

Ah = 3L²√(3) / 2 , em que L² é o lado ao quadrado do hexágono. No caso, como o lado mede 8 cm, então teremos que:

Ah = 3*8²√(3) / 2 ----- desenvolvendo, temos:

Ah = 3*64√(3) / 2 ---- simplificando-se logo "64" por "2", iremos ficar só com:

Ah = 3*32√(3)

Ah = 96√(3) <--- Esta é a área do hexágono da base. Logo, a área da base (Ab) será a mesma, ou seja, já temos que a área da base é igual a:

Ab = 96√(3) <---- Esta é a área da base da pirâmide da sua questão.

iii) Como temos que a área lateral (Al) é igual a 10 vezes a área da base, então teremos que a área lateral (Al) será:

Al = 10*96√(3)

Al = 960√(3) <----- Esta é a área lateral da pirâmide da sua questão.

iv) Como temos aí em cima a área lateral dos 6 triângulos isósceles (já que a pirâmide é hexagonal), então vamos calcular a altura de apenas um triângulo isósceles. Para isso, teremos que a área de apenas um triângulo isósceles (Atisosc) será (basta dividir a área lateral total por "6"):

Atisosc = 960√(3) / 6

Atisosc = 160√(3) <--- Este é o valor da área de um triângulo isósceles.

iv) Agora vamos calcular a altura (h) desse triângulo isósceles. Assim, aplicando a fórmula da área de um triângulo (A), teremos:

A = b*h/2 , em que "A" é a área do triângulo (160√(3)), "b" é a base (que é igual a 8cm) e "h" é a altura que estamos procurando. Logo:

160√(3) = 8*h/2 ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:

8h/2 = 160√(3) ---- multiplicando-se em cruz, temos:

8h = 2*160√(3)

8h = 320√(3) ---- isolando "h" temos:

h = 320√(3) / 8 --- simplificando-se tudo por "8" temos que:

h = 40√(3) <---- Esta é a medida da altura.

v) Agora vamos à área total (At) da pirâmide. Veja que a área total (At) de uma pirâmide é dada pela área da base (Ab = 96√3) MAIS a área lateral (Al = 960√3) . Assim, teremos:

At = Ab + Al ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

At = 96√(3) + 960√(3) ---- note que esta soma dá exatamente 1.056√3. Assim:

At = 1.056√(3) cm² <---- Esta é a área total da pirâmide.

vi) Agora vamos ao volume (V), que é dado por:

V = Ab*h / 3 ---- em que "V" é o volume, "Ab" é a área da base (96√3) "h" é a altura (40√3) . Assim, fazendo as devidas substituições, temos:

V = 96√(3)*40√(3) / 3 ---- como 96*40 = 3.840 e √(3)*√(3) = 3, ficaremos assim:

V = 3.840*3 / 3 ----- simplificando-se tudo por "3", ficaremos apenas com:

V = 3.840 cm³ <---- Este é o volume da pirâmide da sua questão.

vii) Assim, resumindo, temos que:

a) Altura da pirâmide: 40√(3) cm

b) Área total da pirâmide: 1.056√(3) cm²

c) Volume da pirâmide: 3.840cm³.

Pronto. As respostas pedidas são as que demos aí em cima.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.