Uma pessoa viaja entre dois pontos da Terra pela menor distância possível que o avião pode percorrer. Admita que a Terra é uma esfera perfeita de raio aproximadamente 6400 km, que "pi" aproximadamente 3 e raiz de três aproximadamente 1,73.
Nas seguintes informações estão representadas as coordenadas geográficas dos pontos de saída e chegada em duas viagens:
Viagem 1
Início
Latitude 30° Sul
Longitude 60° Oeste
Fim
Latitude 60° Norte
Longitude 60° Oeste
Viagem 2
Início
Latitude 30° Sul
Longitude 60° Oeste
Fim
Latitude 30° Sul
Longitude 60° Leste
Determine aproximadamente para ambas viagens:
a) a intensidade do deslocamento vetorial;
b) o módulo do deslocamento escalar
Soluções para a tarefa
Os deslocamentos vetoriais foram de 9051 km e 11072 km, respectivamente.
Anexei a figura da questão para facilitar o entendimento, no final desta resolução.
Na figura temos uma vista transversal do globo terrestre. O ponto A é a partida e o B a chegada. C é o centro da Terra. R é o raio da mesma.
Primeiramente precisamos entender o que ocorreu em cada viagem, pois foram dadas as coordenadas geográficas das mesmas, e por elas, vamos identificar o ângulo θ central do deslocamento. É por ele que encontraremos todas as distâncias, basicamente.
Viagem 1:
Aqui não houve deslocamento longitudinal, pois tanto no início quanto no fim estava no mesmo valor, 60º.
Contudo, houve deslocamento latitudinal e ele foi de 60º (norte) - (-30)º (sul) = 60 + 30 = 90 º. É importante frisar aqui que a linha do equador é tomada como 0º e que o norte é tomado como positivo e o sul como negativo.
Viagem 2:
Aqui, ao contrário da viagem 1, ocorreu um deslocamento longitudinal. Seu valor é de 60º (leste) - (-60)º (oeste) = 60 + 60 = 120º. Novamente, tomamos o meridiano de Greenwich como o 0º, para o leste temos valores positivos e para o oeste valores negativos.
a) O deslocamento vetorial é representado pela reta verde (d) da figura, pois é a reta que liga A e B (início e chegada) pela menor distância possível.
Viagem 1:
Para θ = 90º (ângulo reto) teremos um triângulo retângulo com hipotenusa d. Aplicando Pitágoras, teremos:
d² = R² + R² = 2R² = 2*(6400)² = 81920000
d ≈ 9051 km
Viagem 2:
Para θ = 120º poderemos aplicar a lei dos cossenos e calcular o valor de d diretamente:
d² = R² + R² - 2*R*R*cos120º = 2R² - 2R²*(-0,5) = 2R² + R² = 3R²
d = 1,73R = 1,73*6400 = 11072 km
b) Já o deslocamento escalar é o percorrido pela crosta terrestre, ou seja, corresponde ao arco de circunferência Δs da figura. Utilizaremos portanto a relação matemática:
|Δs| = θ*R
Viagem 1:
Para θ = 90º, ou seja, θ = π/2 rad, teremos:
|Δs| = θ*R = (π/2)*6400 = (3/2)*6400 = 1,5*6400 = 9600 km
Viagem 2:
Para θ = 120º, ou seja, θ = 2π/3, teremos:
|Δs| = θ*R = (2π/3)*6400 = (2*3/3)*6400 = 2*6400 = 12800 km
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